Αναζήτηση αυτού του ιστολογίου

Τετάρτη, 10 Φεβρουαρίου 2010

Το μαθηματικό δέντρο της ζωής









Έχουν κοινή ρίζα;
(Ένα μαθηματικό πρόβλημα που μπορεί να τύχει σε Ιστορικούς.)



   Σ’ ένα ιστορικό αρχείο βρέθηκαν δύο σχεδόν κατεστραμμένα γενεαλογικά δέντρα καταγεγραμμένα την ίδια χρονιά. Δυστυχώς για τους ερευνητές είχαν χαθεί πολλά στοιχεία. Το μόνο που κατάφεραν να αποσαφηνίσουν σε κάθε δέντρο ήταν η δομή του και τα ονόματα  της τελευταίας γενιάς. Τρία από τα πέντε ονόματα κάθε δέντρου είναι κοινά. Το ένα καταγράφει τέσσερις γενιές ενώ το άλλο πέντε.


Μπορούμε να καταλάβουμε αν πρόκειται για την ίδια οικογένεια ;    



  Οι περισσότεροι άνθρωποι τη μόνη σχέση της Ιστορίας με τα Μαθηματικά που κάπως έχουν ακούσει είναι η Ιστορία των Μαθηματικών.  Τη μελέτη δηλαδή της πορείας της μαθηματικής σκέψεις μέσα στους αιώνες. Από τη προϊστορική εποχή εώς τους Βαβυλώνιους και τους Αιγυπτίους, μετά στους σπουδαίους Έλληνες μαθηματικούς της αρχαιότητας, τους συστηματικούς Άραβες , τους καινοτόμους Ινδούς και τέλος στους σύγχρονους Ευρωπαίους μαθηματικούς που με τις ιδέες τους άλλαξαν κυριολεκτικά την πορεία του κόσμου. Τα τελευταία χρόνια μελετώνται και οι επιδόσεις των αρχαίων λαών της Αμερικανικής ηπείρου όπως οι Αζτέκοι και οι Ίνκας, που φαίνεται να είχαν αρκετά αναπτυγμένες μαθηματικές γνώσεις. Όμως η Ιστορία και τα Μαθηματικά σχετίζονται και με άλλο τρόπο. Δεν είναι μόνο η Ιστορία που μελετά τα Μαθηματικά αλλά καμιά φορά συμβαίνει και το αντίστροφο, δηλαδή τα Μαθηματικά μελετούν την Ιστορία. Για να είμαστε όμως πιο ακριβείς το σωστό είναι να πούμε πως τα Μαθηματικά βοηθούν στη μελέτη στοιχείων που σχετίζονται με την Ιστορία. Η λύση του προβλήματος  που δόθηκε στην αρχή θα μας δώσει μια μικρή ιδέα του πώς μπορεί να συμβεί κάτι τέτοιο, ας τη δούμε λοιπόν…

  Αν κάποιοι άνθρωποι έχουν κοινό πρόγονο, θα μπορεί αυτή η κοινή καταγωγή να καταγραφεί σε ένα γενεαλογικό δέντρο. Αν όμως για τους ανθρώπους αυτούς υπάρχουν για κάποιο λόγο δύο διαφορετικά δέντρα τότε αυτά θα πρέπει να μη παρουσιάζουν αντιφάσεις. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι θα ταυτίζονται όλοι οι επιμέρους κλάδοι αυτών των δέντρων, αλλά σίγουρα θα πρέπει οι κλάδοι που αντιστοιχούν στον κοινό  πρόγονο να είναι απολύτως συμβατοί. Ο γενικός κανόνας είναι πώς δύο κλάδοι είναι συμβατοί όταν έχουν τους κοινούς προγόνους στις ίδιες γενιές. 
  
   Προκειμένου τώρα να κάνουμε μια μελέτη συμβατότητας απλοποιούμε όσο γίνεται περισσότερο τους συγκρινόμενους κλάδους κρατώντας μόνο τα κοινά στοιχεία. Στην περίπτωση μας,τους κλάδους με τα κοινά ονόματα.


    Έτσι το αρχικά δέντρα γίνονται πολύ πιο απλά και εύχρηστα για σύγκριση. Τα παραπάνω διαγράμματα μπορούν να απλοποιηθούν ακόμη περισσότερο διαγράφοντας τα μη κοινά μέρη τους, οπότε προκύπτουν δύο δέντρα που έχουν μόνο κοινές απολήξεις στους κλάδους τους ή αλλιώς κοινά φύλλα . 
  Όπως φαίνεται όμως στο παραπάνω σχήμα τα δύο διαγράμματα δεν είναι συμβατά, αφού ταυτίζονται μεν τα ονόματα αλλά δεν ταυτίζονται  οι κλάδοι που καθορίζουν τις γενιές. Βλέπουμε για παράδειγμα πως στο πρώτο δέντρο ο Αντρέας και ο Βαγγέλης έχουν κοινό πρόγονο στην αμέσως προηγούμενη γενιά ενώ στο δεύτερο δέντρο ο κοινός πρόγονος βρίσκεται για τον Αντρέα  δύο γενιές πίσω.  Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι δεν προέρχονται από το ίδιο δέντρο και συνεπώς μπορούμε με ασφάλεια να πούμε ότι τα στοιχεία που ανακάλυψαν οι ιστορικοί στο αρχείο που μελετούσαν δεν ανήκουν στην ίδια οικογένεια.


  Εκτός από την Ιστορία η χρήση των δέντρο-διαγραμμάτων με αυτό τον τρόπο, για να βρούμε δηλαδή την συμβατότητα ή όχι των στοιχείων δύο ξεχωριστών καταγραφών μπορεί να φανεί πολύ χρήσιμη στις επιστήμες της Βιολογίας, της Ζωολογίας και της  Παλαιοντολογίας.  Πολλές  ομάδες επιστημόνων και τώρα και στο παρελθόν έχουν ασχοληθεί με την ταξινόμηση των διαφόρων έμβιων οργανισμών και τα δέντρα είναι  ο συνηθέστερος τρόπος ταξινόμησης τους. Οι ταξινομήσεις  αυτές γίνονται  με στοιχεία που προκύπτουν από ευρήματα όπως τα απολιθώματα, τα καλοδιατηρημένα οστά και οι σκελετοί. Επίσης ταξινομήσεις γίνονται και με βάση στοιχεία μοριακής  βιολογίας όπως ολόκληρο το DNA ενός οργανισμού ή μόνο κάποια γονίδια που χρησιμοποιούνται ως δείκτες. Όπως είναι φυσιολογικό όμως οι ταξινομήσεις που κάνουν οι διάφορες ομάδες δεν ταυτίζονται 100%. Έτσι, μια τέτοια μέθοδος ελέγχου της συμβατότητας δύο ή περισσοτέρων δέντρο-διαγραμμάτων μπορεί να  αυξήσει  κάπως την ακρίβεια της ταξινόμησης και να εντοπίσει τις αδυναμίες ή τις ασάφειες αν υπάρχουν. Βέβαια θα πρέπει πάντα να λαμβάνονται υπ’ όψιν και άλλα επιστημονικά δεδομένα που προκύπτουν από τις ιδιαιτερότητες των συγκρινόμενων δέντρων. 

   Ακόμα πιο τολμηροί μαθηματικοί πιστεύουν πώς αν δεν υπάρχουν αντιφάσεις στα στοιχεία που είναι καταγεγραμμένα στα δέντρο-διαγράμματα αυτά, τότε θα είναι δυνατόν με τα στοιχεία αυτά να ανακατασκευάσουμε έναν ευρύτερο κλάδο του συνολικού δέντρου. Ο κλάδος αυτός μπορεί να μας παρέχει ακόμα και χαμένες πληροφορίες, πληροφορίες δηλαδή που δεν υπάρχουν στα επιμέρους δέντρα. Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας ανακατασκευής ονομάζεται υπέρ-δέντρο. Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί διάφορες θεωρίες και μέθοδοι για τη δημιουργία υπέρ-δέντρων και μαζί με τις θεωρίες εμφανίστηκαν και υποστηρικτές τους αλλά και πολλοί που ασκούν κριτική για την εγκυρότητα των μεθόδων αυτών στη ταξινόμηση των ειδών και στη φυλογένεση.  Παρά τις κριτικές όμως οι περισσότεροι θεωρούν πως ένα υπέρ-δέντρο μπορεί να εξεταστεί αρχικά ως προς την επάρκεια του σε κάποια μη μαθηματικά στοιχεία και αν δεν παρουσιάζει αδυναμίες να ελεγχθεί στη συνέχεια ως προς τα καινούργια στοιχεία που προσφέρει για τον τομέα στον οποίο δημιουργήθηκε. Αυτός είναι εξάλλου ένας από τους βασικούς δρόμους της επιστημονικής ανακάλυψης, δοκιμή και απόρριψη ή δοκιμή και αποδοχή !


   Αν τελικά βρεθούν επαρκείς μέθοδοι για την δημιουργία υπέρ-δέντρων στον τομέα αυτό της φυλογένεσης, ίσος να βρεθεί κι ένας καθαρά μαθηματικός τρόπος για να ελέγξει η επιστημονική κοινότητα ακόμα περισσότερο την υπάρχουσα Θεωρία της εξέλιξης της ζωής στον πλανήτη μας. Μπορεί να βρεθεί κανόνας  υπολογισμού των χαμένων προγόνων ενός είδους ή τύπος υπολογισμού του χρόνου εξέλιξης από το ένα είδος στο άλλο. Τέτοια μαθηματικά εργαλεία, αν και φαντάζουν απρόσιτα προς το παρόν,  θα ήταν πολύ χρήσιμα στους επιστήμονες της εξέλιξης μιας και θα τους έδιναν την δυνατότητα να διαψεύσουν ή να επαληθεύσουν εικασίες που μένουν χρόνια αναπάντητες. Πάντως απ’ ότι φαίνεται, η καθαρά μαθηματική έρευνα προς  τη κατεύθυνση των υπέρ-δέντρων έχει για τα καλά ξεκινήσει κα το μόνο που μπορεί να σταματήσει την εφαρμογή των όποιων αποτελεσμάτων στα εξελικτικά ζητήματα είναι μόνο η ισχυρή αμφιβολία για την κοινή καταγωγή των έμβιων οργανισμών ή για να το πούμε αλλιώς η αναίρεση της ίδιας της θεωρίας της εξέλιξης. Κάτι τέτοιο όμως  φαίνεται μάλλον απίθανο!


Μερικοί Σύνδεσμοι


1. Το Δέντρο της Ζωής ( Wikipedia στα Αγγλικά ) 

2. Παρουσίαση Δημιουργίας Υπερδέντρου ( Πολλά και Δύσκολα Μαθηματικά στα Αγγλικά )

2 σχόλια:

  1. Kαλησπέρα Παντελή
    Με το γενεαλογικό δένδρο έχω το πρόβλημα.Αν μπορείς κάνε ένα πραγματικό παράδειγμα,σε σχόλιο να καταλάβω τη πρώτη γενιά,τη δεύτερη ,τη τρίτη,τη τέταρτη.Αν καταλάβω αυτό,τότε θα καταλάβω και τα υπόλοιπα.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Έχεις δίκαιο φίλε, θεώρησα δεδομένη τη γνώση των γενεαλογικών δένδρων. Δεν ξέρω αν είναι εφικτή η διευκρίνηση μέσω σχολίου, θα το κοιτάξω λίγο κι ελπίζω να βρω τρόπο.
    Ευχαριστώ για την επισήμανση!

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Δημοφιλείς αναρτήσεις

Μια ομορφιά