Η Αρχή της Περιστεροφωλιάς

Η βιβλιοθήκη της πόλης

Αν στη βιβλιοθήκη μιας πόλης υπάρχουν πάνω από 10.000 βιβλία (Διαφορετικοί Τίτλοι), να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από αυτά (εννοείται με διαφορετικούς τίτλους) έχουν ακριβώς το ίδιο πλήθος σελίδων.

Ο πολύς κόσμος έχει την αίσθηση πως τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που ασχολείται μόνο με πολύπλοκους υπολογισμούς, αφηρημένες έννοιες, δυσνόητες πρακτικές εφαρμογές στην τεχνολογία και στις άλλες επιστήμες. Η πραγματικότητα είναι ότι ξεκίνησαν από πολύ απλές διανοητικές διαδικασίες όπως είναι η αρίθμηση, η διάταξη και η αντιστοίχηση. Ωστόσο με το πέρασμα των χρόνων όμως και με τις γνώσεις διαρκώς να συσσωρεύονται δυσκόλεψαν τόσο, που έφτασαν σήμερα να κρύβουν τις απλές δομές από τις οποίες προήλθαν. Παρόλα αυτά, ακόμα και στη σημερινή εποχή τα μαθηματικά δεν είναι μονάχα πράξεις με πολύ δύσκολους αριθμούς ούτε μόνον εφαρμογές πολύπλοκων κανόνων που ξεφεύγουν από την άμεση εμπειρία μας. Υπάρχουν θεωρίες και κανόνες και βέβαια τα αντίστοιχα προβλήματα, που μπορούν να κατανοηθούν κυριολεκτικά απ’ όλους, όσο κι αν είναι μαθηματικά «άσχετοι».

Αν όμως γι’ αυτά τα παράξενα μαθηματικά δεν χρειάζεται ευχέρεια στο χειρισμό των πράξεων ή κάποιες ιδιαίτερες γνώσεις, τελικά τι είναι αυτό που χρειάζεται να έχει κανείς για να μπορεί να ασχοληθεί στοιχειωδώς με αυτά τα ζητήματα; Όπως όλα τα ωραία πράγματα, σίγουρα είναι και αυτό θέμα έμπνευσης. Όμως η παρατηρητικότητα και η ικανότητα της διάκριση είναι μάλλον σημαντικότερα χαρίσματα στην συγκεκριμένη περίπτωση. Όσοι στο παρελθόν είχαν την δυνατότητα να διακρίνουν μέσα στον τομέα της ερευνάς τους εκείνους τους κανόνες, απλούς ή σύνθετους, που άνοιγαν νέους δρόμους για την επιστήμη, γράφτηκαν στην ιστορία ως Μεγάλοι.

Ένας από τους Μεγάλους Μαθηματικούς του 19ου αιώνα ήταν και ο Dirichlet. Γεννήθηκε το 1805 στο Duren (σημερινή Γερμανία) και το πλήρες του όνομα ήταν Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Η οικογένειά του καταγόταν από την Βελγική πόλη Richelet και αυτό εξηγεί και το επίθετο που του αποδόθηκε, le jeune de Richelet, που σημαίνει ο νέος του Richelet. Από μικρό παιδί ακόμα, σε ηλικία μόλις δώδεκα χρονών, είχε φανεί η μεγάλη κλίση του στα μαθηματικά. Τόσο πολύ τον ενδιέφεραν, που ξόδευε σχεδόν ολόκληρο το χαρτζιλίκι του σε βιβλία μαθηματικών. Λέγεται ότι, η όλη παρουσία του στο γυμνάσιο ήταν τόσο εξαιρετική, που τον καθιστούσε παράδειγμα προς μίμηση για κάθε συμμαθητή του. Συνεχίζοντας τις σπουδές του μετά το γυμνάσιο στη Γερμανία και τη Γαλλία, ο Dirichlet είχε την τύχη να διδαχθεί από τους σπουδαιότερους Μαθηματικούς εκείνης της εποχής όπως τον Οhm, τον Fourier, τον Laplace, τον Legendre και τον Poisson. Ο ίδιος υπήρξε εξαίρετος δάσκαλος που εκφραζόταν πάντα με πολύ μεγάλη σαφήνεια. Το 1855 μετά το θάνατο του Gauss, είχε την τιμή να τον διαδεχθεί στο Gottingen. Στον Dirichlet οφείλουμε πολλά και σπουδαία μαθηματικά επιτεύγματα. Ένα από τα εντυπωσιακότερα (κυρίως για την απλότητα του) εργαλεία που μας κληροδότησε είναι η Αρχή της Περιστεροφωλιάς.

Η Αρχή της περιστεροφωλιάς αναφέρει πως αν ν+1 περιστέρια καθίσουν σε ν φωλιές τότε σε μία τουλάχιστον φωλιά θα καθίσουν δύο τουλάχιστον περιστέρια. Για παράδειγμα αν έχουμε 5 περιστέρια και 4 φωλιές , θα υπάρχει μία τουλάχιστον φωλιά με δύο τουλάχιστον περιστέρια!

Οι περισσότεροι άνθρωποι εκπλήσσονται από την απλότητα του κανόνα, και αμφισβητούν το μεγαλείο της ανακάλυψης και της σαφήνειας της διατύπωσης. Γεγονός όμως είναι ότι δεν φαίνεται να υπάρχει καμία αναφορά του κανόνα αυτού πουθενά στο μακραίωνο παρελθόν των μαθηματικών. Αυτό σημαίνει βέβαια πως ο κανόνας αυτός, αν δεν προέκυψε από σπουδαία μαθηματική έμπνευση προέκυψε από μεγάλη διαύγεια στη σκέψη, κι αυτό τουλάχιστον πρέπει να το πιστώσουμε στον Dirichlet. Η χρήση δε αυτής της Αρχής εκτείνεται από την Θεωρία Αριθμών μέχρι την Θεωρία Πιθανοτήτων αλλά και σε πλήθος προβλημάτων που φαίνεται να μην έχουν καμία σχέση με Μαθηματικά. Η Αρχή της περιστεροφωλιάς έχει και μια λίγο πιο δύσκολή γενίκευση με τη βοήθεια της οποίας μπορούμε να λύσουμε και άλλα εντυπωσιακά προβλήματα λογικής.

Το πρόβλημα της βιβλιοθήκης με το οποίο ξεκινήσαμε λύνεται και αυτό με την Αρχή της Περιστεροφωλιάς. Πρέπει όμως να κάνουμε την εξής λογική παραδοχή. Τα περισσότερα βιβλία έχουν από 200 μέχρι 800 σελίδες. Δεν είναι λοιπόν παράλογο να υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν βιβλία με περισσότερες από 10.000 σελίδες! Έτσι αν για περιστεροφωλιές βάλλουμε το πλήθος των σελίδων, αυτές θα είναι λιγότερες από 10.000. Στη συνέχεια θεωρούμε πως τα βιβλία της βιβλιοθήκης είναι τα περιστέρια. Έτσι για παράδειγμα αν κάποιο βιβλίο έχει μία σελίδα θα καθίσει στην 1η φωλιά, αν έχει δύο σελίδες στην 2η,αν έχει τριάντα σελίδες στη 30η κ.ο.κ. Όμως τα βιβλία (περιστέρια) είναι πάνω από 10.000 ενώ οι σελίδες (φωλιές) λιγότερες από 10.000 , άρα σύμφωνα με την Αρχή της Περιστεροφωλιάς δύο τουλάχιστον βιβλία (περιστέρια) θα έχουν το ίδιο πλήθος σελίδων (ίδια φωλιά).

Η συνεισφορά του Dirichlet στα μαθηματικά είναι τεράστια και οικουμενικά αναγνωρισμένη. Υπήρξε ένας από τους σπουδαιότερους της εποχής του και το όνομα του ήδη είναι γραμμένο με χρυσά γράμματα στην ιστορία των μαθηματικών. Χαρακτηριστικά είναι τα λόγια ενός μελετητή του…

« … σημαντικοί τομείς των μαθηματικών επηρεάστηκαν από τον Dirichlet. Οι αποδείξεις του ξεκινούσαν χαρακτηριστικά με εκπληκτικά απλές παρατηρήσεις, και ακολουθούσαν εξαιρετικά οξυδερκείς αναλύσεις του υπόλοιπου προβλήματος. Με τον Dirichlet άρχισε η χρυσή εποχή των μαθηματικών στο Βερολίνο!»

                                                H Koch

Ακολουθούν μερικά ακόμα απλά προβλήματα που λύνονται με παρόμοιους τρόπους

1) Μια ομάδα ποδοσφαίρου έχει 11 παίχτες. Αν ο μικρότερος είναι 21 χρονών και ο μεγαλύτερος 30, να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον παίχτες έχουν την ίδια ηλικία.

2) Σ’ ένα εξεταστικό κέντρο οι δύο επιτηρητές σημειώνουν τα γραπτά με το ίδιο χρώμα στυλό, είτε και οι δύο με μπλε είτε και οι δύο με μαύρο. Αν σ’ ένα κουτί υπάρχουν 15 μπλε στυλό και 16 μαύρα, ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από στυλό που πρέπει να βγάλει κάποιος από το κουτί χωρίς να βλέπει, για να τους δώσει στους επιτηρητές ώστε να μπορούν να κάνουν σωστά τη δουλειά τους.

3) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 άνθρωποι στο λεκανοπέδιο Αττικής που έχουν ακριβώς τον ίδιο αριθμό τριχών στο κεφάλι τους. (Επειδή το μυαλό των περισσοτέρων πάει συνήθως στους φαλακρούς, αγνοήσετε αυτή την περίπτωση.)

Μερικοί Σύνδεσμοι

 

1. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( Πανεπιστήμιο του Αγ. Ανδρέα στη Σκοτία )

 

2. Η Αρχή της Περιστεροφωλίας ( Wikipedia )