Πες μου γιατί

Ένας χρόνος πέρασε σχεδόν από την ανάρτηση  "Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε μαθηματικά ;" και πολλά άλλαξαν από τότε.Νομίζω όμως πως είναι κρίμα να μη το συνεχίσω λίγο αυτή την αναζήτηση.Συνεχίζω λοιπόν κάπως καθυστερημένα και περιμένω ιδέες, σχόλια, παρατηρήσεις αντιρρήσεις!

  Ένας βασικός παράγοντας που δυσκολεύει την απάντηση μιας ερώτησης είναι η ιδιαιτερότητα και η μοναδικότητα του ανθρώπου που την θέτει. Ο κάθε άνθρωπος έχει τις προσωπικές του εμπειρίες και αναζητήσεις, κάποιες από αυτές τυχαίνει να τις μοιράζεται με άλλους και κάποιες άλλες είναι αποκλειστικά δικές του. Επίσης, ο καθένας μας δίνει ακόμα και στις κοινές μας αναζητήσεις ένα εντελώς δικό του χρώμα, με αποτέλεσμα μερικές ερωτήσεις που διατυπώνονται από πολύ κόσμο με τον ίδιο τρόπο να μην επιδέχονται μια και μόνο γενική απάντηση.

Έτσι  μια  απάντηση που μπορεί να καθησυχάζει τον ένα, δημιουργεί σε κάποιον άλλον αμέτρητες απορίες. Αυτό όμως είναι μάλλον καλό, αφού όλες οι επιστήμες έτσι προοδεύουν και κατά κάποιο τρόπο μπορούμε να πούμε πως έτσι προοδεύει και η ανθρωπότητα. Στην ερώτηση λοιπόν «Πες μου, γιατί πρέπει να μαθαίνουμε Μαθηματικά » το “μου”, η μικρή αυτή λέξη που τις περισσότερες φορές εννοείται χωρίς να λέγεται, βάζει ένα από τα μεγαλύτερα εμπόδια στο να βρεθεί μια γενική απάντηση.

Ανέμελοι περίπατοι ;

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η κάτοψη ενός καταστήματος ρούχων στο οποίο υπάρχουν 4 αίθουσες και 9 διάδρομοι που τις συνδέουν. Είναι δυνατόν ένας πελάτης να ξεκινήσει από την αίθουσα εισόδου να δει τις δύο αίθουσες ρούχων και να καταλήξει στην αίθουσα εξόδου περνώντας από όλους τους διαδρόμους ( 1 έως 9 )  μόνο μια φορά ;

  Εμείς οι μαθηματικοί έχουμε την ιδιοτροπία να μετατρέπουμε και τα πιο απλά καθημερινά γεγονότα σε μαθηματικά προβλήματα. Όπως φαίνεται παραπάνω, ακόμα και το χάζεμα στα ράφια ενός καταστήματος γίνεται αφορμή για προβληματισμό, και δεν εννοώ μόνο ως προς τις τιμές!

 Πριν ξεκινήσουμε την αναζήτηση της λύσης είναι απαραίτητο να δούμε και να καταλάβουμε μια σημαντική μαθηματική έννοια που θα μας φανεί πολύ χρήσιμη στη πορεία. Στα μαθηματικά, «αναλλοίωτα» ενός προβλήματος ονομάζονται τα μεγέθη ή οι ιδιότητες εκείνες που δεν μεταβάλλονται ακόμα κι όταν μεταβληθούν άλλα μεγέθη που σχετίζονται με το πρόβλημα και επηρεάζουν τη λύση του. Τέτοιου είδους μεγέθη εμφανίζονται συχνά σε προβλήματα πολλών θετικών επιστημών. Στη Χημεία, για παράδειγμα, παραμένουν σταθερές οι συνολικές ποσότητες ενός στοιχείου σε μια χημική αντίδραση, παρά το γεγονός πως αλλάζουν οι δεσμοί τους με τα υπόλοιπα στοιχεία. Αυτό φαίνεται καθαρά στην εξίσωση της χημικής αντίδρασης όπου οι συντελεστές του δεύτερου μέλους μεταβάλλονται με τρόπο ώστε οι ποσότητες παραμένουν αμετάβλητες. Προσέξετε στην παρακάτω αντίδραση πως στο 1^ο  μέλος της  συμμετέχουν 6 άτομα (Η) Υδρογόνου [ C₂H₆O ],  αλλά και στο 2^ο μέλος της πάλι 6 άτομα έχουμε [3Η₂O  3·2=6].

C₂H₆O + 6CuO → 2CO₂ + 3H₂O + 6Cu

Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και με τα υπόλοιπα στοιχεία που συμμετέχουν σε αυτή τη χημική αντίδραση.

	C2H6O + 6CuO	2CO2 + 3H2O + 6Cu
Υδρογόνο   ( Η )	C2H6O   ( 6 )	3Η2O     ( 3·2=6 )
Οξυγόνο     ( Ο )	C2H6O + 6CuO  ( 1+6·1 = 7 )	2CO2 + 3H2O (2·2 +3·1 = 7 )
Άνθρακας   ( C )	C2H6O   ( 2 )	2CO2  ( 2·1= 2 )
Χαλκός     ( Cu )	6CuO  ( 6·1 = 6 )	6Cu   ( 6·1 = 6 )

Έτσι γίνεται φανερό πως για να υπολογίσουμε τους συντελεστές  των στοιχείων που παράγονται σε μια χημική αντίδραση πρέπει να λάβουμε υπόψη το γεγονός πως κάποιες ποσότητες παραμένουν αναλλοίωτες.

   Ας επανέλθουμε όμως τώρα στα μαθηματικά. Σε τι μπορεί να χρησιμεύσει ένα αναλλοίωτο; Καταρχάς είναι σημαντικό να καταλάβουμε πως εντοπίζοντας κάποιο αναλλοίωτο  έχουμε κάνει ένα σοβαρό βήμα για την επίλυση του προβλήματος. Τα αναλλοίωτα μας δίνουν συνήθως πληροφορίες που έχουν να κάνουν με τις ιδιαιτερότητες του προβλήματος και οι οποίες είναι απαραίτητες  για τη λύση του. Ως παράδειγμα στα παραπάνω θα προχωρήσουμε στη λύση το προβλήματος με το κατάστημα ρούχων που τέθηκε στην αρχή.

  Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί αποτελεσματικά αν κάνουμε μια απλή σκέψη, η οποία θα αποκαλύψει  ένα  καλά κρυμμένο αναλλοίωτο. Αρκεί να σκεφτούμε πως όσες φορές θα μπούμε σε μια αίθουσα μέσω ενός διαδρόμου τόσες φορές θα βγούμε από αυτή μέσω ενός διαδρόμου ( ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟ ).

  

Να  προσέξουμε όμως πως αυτό δεν ισχύει για την Αίθουσα Εισόδου στην οποία μπαίνουμε χωρίς διάδρομο και την Αίθουσα Εξόδου από την οποία βγαίνουμε στο τέλος χωρίς διάδρομο. Γι’ αυτό από εδώ και πέρα θα αναφερόμαστε μόνο στις ενδιάμεσες αίθουσες.

   Και πώς μας είναι χρήσιμο αυτό το αναλλοίωτο  «όσες φορές μπαίνουμε τόσες φορές βγαίνουμε»; Αν θέλουμε  να περάσουμε από κάθε διάδρομο μία μόνο φορά είναι φανερό πως οι ενδιάμεσες αίθουσες  θα πρέπει να συνδέονται μεταξύ τους με ζυγό πλήθος διαδρόμων, ώστε οι μισοί να χρησιμεύουν ως ΕΙΣΟΔΟΙ και οι άλλοι μισοί ως ΕΞΟΔΟΙ , όπως μας υποδεικνύει το αναλλοίωτο μας.

 Για παράδειγμα αν έχουμε τρεις αίθουσες Α, Β, Γ όπως στο διπλανό σχήμα και  θέλουμε να πάμε από την αίθουσα Α στην αίθουσα Γ  με ενδιάμεση  αίθουσα τη Β, αναγκαστικά περνάμε από τον διάδρομο (1) δύο φορές.

 

Αν όμως είχαμε μιαν άλλη διάταξη δεν θα χρειαζόταν να περάσουμε δύο φορές από τον ίδιο διάδρομο. Παρατηρήσετε πως η ενδιάμεση αίθουσα Β έχει εδώ  σύνδεση με δύο διαδρόμους  (1) και (3)  ή  (1) και (2) , ενώ στη προηγούμενη περίπτωση μόνο με ένα .

   Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο  σκέψης στο πρόβλημα με το κατάστημα ρούχων, συμπεραίνουμε ότι για να μπορέσουμε να περάσουμε από κάθε διάδρομο μία μόνο φορά, είναι απαραίτητο οι δύο ενδιάμεσες αίθουσες ( ΑΝΔΡΙΚΑ ΡΟΥΧΑ – ΓΥΝΑΙΚΕΙΑ ΡΟΥΧΑ )  να έχουν ζυγό αριθμό διαδρόμων που να συνδέονται  με αυτές. Παρατηρώντας όμως το σχέδιο βλέπουμε πως έχουν μονό αριθμό διαδρόμων, πέντε η κάθε μία τους.

ΑΝΔΡΙΚΑ ΡΟΥΧΑ (1),(2),(5),(6),(7) και ΓΥΝΑΙΚΕΙΑ ΡΟΥΧΑ (3),(4),(5),(8),(9)

Οπότε συμπεραίνουμε πως είναι αδύνατον να δούμε όλες τις αίθουσες περνώντας μία μόνο φορά από κάθε διάδρομο.

  Το πρόβλημα αυτό είναι μια παραλλαγή ενός γνωστού μαθηματικού γρίφου του 18^ου αιώνα που λέγεται « Οι επτά γέφυρες του Königsberg » . Η λύση του γρίφου ήρθε από το διάσημο Ελβετό μαθηματικό Leonard Euler με την βοήθεια κάποιων απλοποιημένων γραφημάτων και πολύ αργότερα καταγράφτηκε στην Ιστορία των Μαθηματικών ως  το πρώτο θεώρημα της Θεωρίας Γραφημάτων. Ο τρόπος με τον οποίο  αντιμετώπισε ο Euler το πρόβλημα, θεωρήθηκε  εξαιρετικά σημαντικός αφού ήταν ένας προάγγελος της ανάπτυξης της Τοπολογίας. Κάποια άλλη στιγμή μπορεί να δοθεί η ευκαιρία να πούμε μερικά πράγματα παραπάνω για τον πολύ σπουδαίου αυτό κλάδο των Μαθηματικών.

 Την εποχή που ζούσε ο Euler ένας περίπατος στις Επτά γέφυρες του Königsberg, ίσως ήταν ένας όμορφος τρόπος χαλάρωσης.  Έχω όμως την αίσθηση πως στις μέρες μας οι δαιδαλώδεις διάδρομοι που έχουν  πολλά καταστήματα δεν έχουν γίνει για να μας χαλαρώνουν ή δεν έχούν γίνει  μόνον για να μας χαλαρώνουν. Πιθανότατα οι σύγχρονοι αυτοί λαβύρινθοι έχουν σχεδιαστεί για να μας αναγκάζουν να κάνουμε κύκλους για πολύ ώρα, χωρίς να καταλαβαίνουμε από πού έχουμε περάσει και από πού δεν έχουμε περάσει. Όσο περισσότερο όμως τριγυρνάμε μέσα στα προϊόντα τόσο  γινόμαστε πιο ευάλωτοι και  στις δικές μας καταναλωτικές  αδυναμίες αλλά κυρίως  στα δικά τους διαφημιστικά κόλπα. Ίσως αν κάποιος είναι υποψιασμένος σχετικά μα αυτά τα τεχνάσματα να αποφύγει μερικές παγίδες. Ελπίζω μόνο να μην έγινα αφορμή να μετράτε τους διαδρόμους των καταστημάτων για να βρείτε αν υπάρχει τρόπος να περάσετε μια μόνο φορά από τον καθένα τους !  

ΓΙΑΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΜΑΘΑΙΝΟΥΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

 Συζητώντας καθημερινά με μαθητές αναπόφευκτα μου τίθεται πολλές φορές το ερώτημα… «Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε μαθηματικά ». Έχω την αίσθηση όμως πως το ερώτημα αυτό κρύβει πολύ περισσότερα πράγματα από όσα μας καλεί να φανερώσουμε. Είναι λοιπόν απαραίτητο να ερευνηθεί σε διάφορα επίπεδα, για να το δούμε λοιπόν...

Αυτό το «Γιατί» που εμφανίζεται σε  πάρα πολλά ερωτήματα και με διαφορετικούς τρόπους, εκφράζει πάντα την ίδια απορία;  Για παράδειγμα αν αλλάξουμε τη λέξη «μαθηματικά» και βάλουμε στη θέση τους  «Ταϊλανδέζικα» θα έχουμε την πρόταση «Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε Ταϊλανδεζικα », που εκφράζει, τουλάχιστον για μας τους Έλληνες,  μια εύλογη απορία. Αν όμως βάλουμε στη θέση αυτή «να περπατάμε» θα έχουμε την πρόταση «Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε να περπατάμε », η οποία όμως δεν φαίνεται και πολύ λογική. Με τα μαθηματικά λοιπόν τι από τα δύο αυτά ισχύει. Πρόκειται για μια εύλογη απορία ή μήπως είναι απλά ένα ανόητο ερώτημα;

Το σημαντικότερο είναι να μπορούμε σε κάθε  περίπτωση να βρούμε το νόημα που έχει μια ερώτηση, δηλαδή να καταλάβουμε τι ακριβώς είναι αυτό που αναζητούμε. Τι είναι λοιπόν αυτό που ψάχνουμε  κάνοντας την ερώτηση «Γιατί πρέπει να μαθαίνουμε μαθηματικά». Θέλουμε να βρούμε χρησιμότητα… «Που θα μου χρησιμεύσουν τα μαθηματικά».  Μήπως είναι μια έκφραση αγωνίας… «Γιατί μας ταλαιπωρείτε τόσο με τα μαθηματικά» . Ίσως είναι και μια υπαρξιακή αναζήτηση… «Γιατί οι άνθρωποι να μαθαίνουμε τόσα πολλά πράγματα ανάγνωση, γραφή, μουσική , μαθηματικά…».

Πρώτη μας δουλεία  λοιπόν θα είναι να συνειδητοποιήσουμε τι ακριβώς θέλουμε να βρούμε και  μετά θα τρέξουμε να το αναζητήσουμε με όλες μας τις δυνάμεις.

Καλή χρονιά λοιπόν σε όλους και καλή δύναμη στις αναζητήσεις σας !!!

Κρυπτογραφικά

Στις μέρες πολύς λόγος γίνεται για την ασφάλεια των δεδομένων που διακινούνται από διάφορους οργανισμούς όπως οι τράπεζες, οι ασφαλιστικές εταιρίες και τα ταχυδρομεία. Καμιά φορά λόγος γίνεται και για τις πληροφορίες που στέλνουμε με τα κινητά μας τηλέφωνα, αλλά ο μεγάλος πρωταγωνιστής αυτών των συζητήσεων είναι ο «διάβολος» αυτός που στα Ελληνικά λέγεται Ίντερνετ. Όλο και περισσότερος κόσμος αποφασίζει με μεγαλύτερη ευκολία μέσω διαδικτύου, να κάνει από το σπίτι του αγορές, ενοικιάσεις, συμπλήρωση αιτήσεων και άλλες ηλεκτρονικές συναλλαγές που πριν μερικά χρόνια μας φαίνονταν αδιανόητες. Δεν είναι και λίγο πράγμα βλέπετε να αποφύγει κανείς την ατέλειωτη ουρά στην εφορία και όλο τον εκνευρισμό που αυτή προκαλεί, έστω κι αν υπάρχει η απώλεια της συναναστροφής με τις όμορφες λογίστριες που συρρέουν για να τακτοποιήσουν επείγουσες εκκρεμότητες!

Η ασφάλεια μιας ιστοσελίδες που διαχειρίζεται ευαίσθητα δεδομένα φαίνεται από ένα εικονίδιο σε εμφανές σημείο της με σχήμα κλειδαριάς, συνήθως μάλιστα είναι χρυσή κλειδαριά. Αν κλικάρουμε (είναι και αυτό ένα από τα πολλά καινούργια ρήματα της Νεοελληνικής που μπήκε στη ζωή μας εσχάτως…) πάνω στο εικονίδιο αυτό θα εμφανιστεί μια αναφορά ασφαλείας. Διάφορες πληροφορίες δηλαδή για την ασφάλεια της ιστοσελίδας. Μια από τις πιο συνηθισμένες προτάσεις σε τέτοιου είδους αναφορές είναι «Αυτή η σύνδεση είναι κρυπτογραφημένη.» και σε αυτό το σημείο βρήκα πάτημα για να σας ζαλίσω πάλι με τα μαθηματικά μου.

Η Κρυπτογραφία είναι η διαδικασία με την οποία μετασχηματίζουμε ένα λεκτικό ή αριθμητικό μήνυμα σε άλλη μορφή, ώστε να μην είναι κατανοητό σε περίπτωση που πέσει σε λάθος χέρια. Αφού λοιπόν είναι μετασχηματισμός δεν γίνεται να μη μελετηθεί από τους Μαθηματικούς, όμως δεν ήταν πάντα ζήτημα μαθηματικών. Οι πρώτες αναφορές που έχουμε για κρυπτογραφημένα μηνύματα είναι σε αρχαίους λαούς όπως οι Αιγύπτιοι, οι Βαβυλώνιοι, οι Σπαρτιάτες. Οι δε Ρωμαίοι είχαν βρει ένα απλό τρόπο κρυπτογράφησης των στρατιωτικών τους εγγράφων, ο οποίος όμως ήταν αρκετά αποτελεσματικός για την εποχή εκείνη. Θα κάνω στην συνέχεια μια περιγραφή αυτής της μεθόδου που είναι γνώστη σήμερα ως «Μέθοδος του Καίσαρα» αλλά πριν από αυτό, πάρετε ένα παιχνιδάκι….

Αντιστοιχίσετε τα κρυπτογραφημένα μηνύματα της αριστερής στήλης στις προτάσεις της δεξιάς στήλης.

Είμαι σίγουρος πως παρατηρήσατε ότι στις κρυπτογραφημένες προτάσεις έχουν καταργηθεί τα κενά ανάμεσα στις λέξεις, αυτό κάνει ακόμα πιο δύσκολή την δουλειά των κρυπταναλυτών που θα καταπιαστούν με την αποκωδικοποίηση των κρυμμένων προτάσεων. Μια τέτοια ενέργεια είναι απολύτως θεμιτή αν όχι και επιβεβλημένη, κι ελπίζουμε πως εκείνοι που έχουν τα κλειδιά για τους κώδικες είναι αρκετά έξυπνοι ώστε να μπορούν να βάλουν τα κενά στις σωστές θέσεις και να αποφύγουν τις παρερμηνείες!

Ας επανέλθουμε τώρα στη «Μέθοδο του Καίσαρα», καταρχάς ονομάστηκε έτσι γιατί προφανώς αποδίδεται σε Ρωμαίο αυτοκράτορα, τον Ιούλιο Καίσαρα. Η κρυπτογράφηση του μηνύματος γινόταν με αντικατάσταση κάθε γράμματος με το τρίτο διαδοχικό του στο αλφάβητο… Α=>Δ, Β=>Ε, Γ=>Ζ κτλ. Ένα εύλογο ερώτημα είναι, τι έκαναν με τα τελευταία γράμματα, που δεν έχουν τρίτο διαδοχικό. Προφανώς ξεκινούσαν από την αρχή δηλαδή Χ=>Α, Ψ=>Β και Ω=>Γ. Οπότε ας πούμε ότι ήθελαν να στείλουν, στα Ελληνικά πάντα, το μήνυμα ΕΠΙΘΕΣΗ. Θα αντικαθιστούσαν κάθε γράμμα με το τρίτο διαδοχικό του στην αλφαβήτα, δηλαδή θα γινόταν ΘΤΜΛΘΦΚ. Μπορεί να φαίνεται απλό, ίσως και γελοίο, αλλά για κάποιον που δεν είναι υποψιασμένος είναι αποτελεσματικότατο. Βέβαιο οι Ρωμαίοι δεν χρησιμοποιούσαν πάντα το τρίτο γράμμα αλλά άλλαζαν κατά καιρούς το βήμα της μετατόπισης και αντικαθιστούσαν άλλες φορές με το τρίτο διαδοχικό γράμμα, άλλες με το όγδοο και πάει λέγοντας. Έτσι η μέθοδος αυτή γινόταν ακόμα πιο αποτελεσματική. Για να γίνει τώρα η αποκρυπτογράφηση από τον παραλήπτη θα πρέπει να γνωρίζει το κλειδί, με άλλα λόγια με ποιο βήμα έχει γίνει η μετατόπιση και η αντικατάσταση. Οπότε κατασκευάζει ένα απλό πίνακα αντιστοίχισης και βρίσκει το πραγματικό μήνυμα. Στη δική μας περίπτωση τώρα για βήμα τρία γράμματα, η αντιστοίχηση αποκρυπτογράφησης είναι :

Αποκρυπτογραφώντας με αυτό τον τρόπο τα τέσσερα μηνύματα του παιχνιδιού μας, έχουμε τα έξής αποτελέσματα….

ΑΛΡΒΠΝΤΩΩΓΒΝΑΓΠ   => ΧΘΞΨΝΚΠΦΦΩΨΚΧΩΝ

ΘΥΩΞΜΝΙΓΣΝΜΓΙΓ       => ΕΤΦΛΙΚΖΩΟΚΙΩΖΩ

ΔΨΥΜΣΘΑΓΗΣΨΞΘΜΔ  => ΑΥΡΙΟΕΧΩΔΟΥΛΕΙΑ

ΟΓΞΤΝΣΨΦΘΛΡΑΟΗ     => ΜΩΛΠΚΟΥΣΕΘΞΧΜΔ

Όπως φαίνεται ο τρόπος αυτός της αποκωδικοποίησης και με το συγκεκριμένο κλειδί, των τριών βημάτων, ξεκαθαρίζει μόνο το τρίτο μήνυμα το οποίο είναι «ΑΥΡΙΟ ΕΧΩ ΔΟΥΛΕΙΑ»

Με την πάροδο του χρόνου οι κρυπταναλυτές έβρισκαν σχετικά εύκολα τρόπους να ξεκλειδώνουν τέτοια μηνύματα κοιτάζοντας την συχνότητα εμφάνισης των γραμμάτων στα γνωστά κείμενα.( Σύνδεσμος στη Βικιπαίδεια για πιο πολλές πληροφορίες ) Έτσι δημιουργήθηκε η ανάγκη για νέες μεθόδους πιο πολύπλοκες και συνεπώς πιο δύσκολες για τους επίδοξους «κλέφτες». Μια άλλη μέθοδος λοιπόν ήταν να μετατοπίζουμε κάθε γράμμα του αρχικού μηνύματος με διαφορετικό τρόπο. Έτσι η μετατόπιση δεν εξαρτιόταν από έναν μόνο αριθμό, το 3 ή το 8, αλλά από μια λέξη για παράδειγμα «ΑΣΠΡΟ» . Ας υποθέσουμε ότι το μήνυμά μας είναι δύο λέξεις ΦΥΓΕ ΑΜΕΣΩΣ. Βάζουμε κάτω τη λέξη κλειδί όσες φορές χρειάζεται. Στη συνέχεια μετατοπίζουμε τα γράμματα του μηνύματος σύμφωνα με τον αριθμό που αντιστοιχεί στο γράμμα της λέξης κλειδί.

Για δείτε το …

Έτσι κάτω από τα Φ, βάλαμε το Α που είναι το 1ο γράμμα οπότε μετατοπίζουμε το Φ κατά 1,δηλαδή το Φ γίνεται Χ. Κάτω από το Υ βάλαμε το Σ που είναι το 18ο γράμμα άρα μετατοπίζουμε το Υ κατά 18 ( αν τελειώσουν τα γράμματα πάμε από την αρχή) οπότε γίνεται Ξ. Με τον τρόπο αυτό υπάρχει μεγαλύτερη ασφάλεια αφού προκύπτουν διαφορετικά αποτελέσματα για το ίδιο γράμμα, για παράδειγμα το Ε μπορεί να γίνει ή Χ ή Ψ ή κάποιο άλλο γράμμα, οπότε είναι δύσκολο με βάση την συχνότητα εμφάνισης των γραμμάτων να βρούμε το κλειδί του κώδικα. Μπορείτε τώρα αν θέλετε απλά να επιβεβαιώσετε ότι στο δικό μας παιχνίδι η πρόταση «ΩΡΑΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» έχει κρυπτογραφηθεί με τον τρόπο αυτό και λέξη κλειδί «ΑΣΠΡΟ».

Μέχρι εδώ νομίζω πως τα πράγματα ήταν σχετικά εύκολα, αφού δεν εμφανίστηκε ούτε ένας απλός μαθηματικός τύπος. Όμως καθώς η ζωή προχωρούσε, προχωρούσε και η ανάγκη για ακόμα πιο ασφαλείς τρόπους κωδικοποίησης, και μια πρώτη και απλή σκέψη ήταν να μην κωδικοποιούμε ένα ένα τα γράμματα αλλά ζεύγη γραμμάτων ή γενικά ομάδες γραμμάτων. Για μεγαλύτερη ασφάλεια (και καλά τώρα) αποφάσισαν όλη αυτή η διαδικασία να γίνει με την βοήθεια δύο απλών γραμμικών συναρτήσεων σαν και αυτές που ακολουθούν

Οι εξισώσείς αυτές προτιμήθηκαν σε σχέση με άλλες γιατί έχουν εύκολες πράξεις και μπορούμε να αντιστραφούν δίχως δυσκολίες. Είμαι σίγουρος πως στους περισσότερους αυτές οι εξισώσεις μόνο απλές δεν φαίνονται. Είναι γνωστό εξάλλου πως τα μαθηματικά πολλές φορές γίνονται δύσκολα μόνο και μόνο από τους ιδιαίτερους συμβολισμούς που έχουν και γι’ αυτό δεν πρόκειται να επιμείνω άλλο. Στο τέλος παραθέτω μερικούς συνδέσμους για όποιον θέλει να μελετήσει και την μέθοδο αυτή λίγο καλύτερα. Ο μαθηματικά τολμηρός αναγνώστης μπορεί αν θέλει να επιβεβαιώσει πως η πρόταση ΔΥΣΚΟΛΟΣ ΓΡΙΦΟΣ έχει κρυπτογραφηθεί με τον τρόπο αυτό και α=5, β=3,γ=1,δ=2.

Στο σημείο αυτό θέλω να επισημάνω μια δυσκολία που παρουσιάζεται και στις τρεις αυτές μεθόδους κρυπτογράφησης. Όλες στηρίζονται σε κάποιο κλειδί. Η πρώτη στο βήμα της μετατόπισης. Η δεύτερη στη λέξη και η τρίτη στους τέσσερις αριθμούς α,β,γ,δ. Για να γίνει η αποκρυπτογράφηση θα πρέπει αυτοί που λαμβάνουν το μήνυμα να γνωρίζουν το κλειδί ώστε να το διαβάσουν σωστά. Το πρόβλημα είναι πως αν το κλειδί παραμείνει για μεγάλο χρονικό διάστημα το ίδιο υπάρχει κίνδυνος «ο αντίπαλος» να το ανακαλύψει, ενώ αν αλλάζει τακτικά υπάρχει δυσκολία στη μεταβίβασή του χωρίς να γίνει κάποια υποκλοπή.

Από το 1976 και μετά εμφανίστηκε μια νέα μέθοδος κρυπτογράφησης όπου το κλειδί δεν ήταν πια μυστικό αλλά φανερό και ονομάζεται Κρυπτογράφηση Δημόσιου Κλειδιού. Στην πραγματικότητα πρόκειται για μέθοδο που έχει δύο κλειδιά, ένα Δημόσιο Κλειδί και ένα Ιδιωτικό Κλειδί. Αυτή η νέα μέθοδος οφείλει την μεγάλη επιτυχία της στους πολύ μεγάλους πρώτους αριθμούς. Οι πρώτοι αριθμοί έχουν κάποιες παραξενιές. Καταρχάς ένας πρώτος αριθμός δεν έχει διαιρέτες πέρα από το 1 και τον εαυτό του. Η σημαντικότερη παραξενιά τους όμως είναι πως δεν έχουν καμία κανονικότητα στη σειρά εμφάνισής τους οπότε… Οπότε κάπου εδώ πρέπει να σταματήσω, εξάλλου πόσα μαθηματικά αντέχει καθημερινά ένας άνθρωπος.

Υπάρχουν βέβαια και άλλοι σημαντικοί αλγόριθμοι κρυπτογράφησης. Ένας από τους ασφαλέστερους και πιο διαδεδομένους είναι ο One-time Pad που χρησιμοποιείται από πολλές κυβερνήσεις για σημαντικές υποθέσεις τους. Αλλά νομίζω πως είναι ασφαλέστερο για μένα να μην ασχοληθώ με τέτοια πράγματα! Σε όσους όμως από εσάς συνεχίσετε αυτήν την αναζήτηση εύχομαι δύναμη και καλή τύχη.

Θέλω να κλείσω με ένα πολύ θερμό ευχαριστώ στον φίλο και κουμπάρο μου Κώστα Μαρκαντωνάκη για τις πολύ εύστοχες παρατηρήσεις του και τη πολύτιμη βοήθειά του στη τελική διαμόρφωση αυτής της ανάρτησης.

Μερικοί Σύνδεσμοι κι ένα Βιβλίο

1. Κρυπτογραφία στη Βικιπαίδεια

2. Κρυπτογράφηση Δημίσιου Κλειδιου στη Βικιπαίδεια

3. Ανάλυση Συχνότητας Γλώσσας στη Βικιπαίδεια 

4. One Time Pad   Wikipedia

5. Η φύση και η δύναμη των μαθηματικών     (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης) 

Η Αρχή της Περιστεροφωλιάς

Η βιβλιοθήκη της πόλης

Αν στη βιβλιοθήκη μιας πόλης υπάρχουν πάνω από 10.000 βιβλία (Διαφορετικοί Τίτλοι), να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από αυτά (εννοείται με διαφορετικούς τίτλους) έχουν ακριβώς το ίδιο πλήθος σελίδων.

Ο πολύς κόσμος έχει την αίσθηση πως τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που ασχολείται μόνο με πολύπλοκους υπολογισμούς, αφηρημένες έννοιες, δυσνόητες πρακτικές εφαρμογές στην τεχνολογία και στις άλλες επιστήμες. Η πραγματικότητα είναι ότι ξεκίνησαν από πολύ απλές διανοητικές διαδικασίες όπως είναι η αρίθμηση, η διάταξη και η αντιστοίχηση. Ωστόσο με το πέρασμα των χρόνων όμως και με τις γνώσεις διαρκώς να συσσωρεύονται δυσκόλεψαν τόσο, που έφτασαν σήμερα να κρύβουν τις απλές δομές από τις οποίες προήλθαν. Παρόλα αυτά, ακόμα και στη σημερινή εποχή τα μαθηματικά δεν είναι μονάχα πράξεις με πολύ δύσκολους αριθμούς ούτε μόνον εφαρμογές πολύπλοκων κανόνων που ξεφεύγουν από την άμεση εμπειρία μας. Υπάρχουν θεωρίες και κανόνες και βέβαια τα αντίστοιχα προβλήματα, που μπορούν να κατανοηθούν κυριολεκτικά απ’ όλους, όσο κι αν είναι μαθηματικά «άσχετοι».

Αν όμως γι’ αυτά τα παράξενα μαθηματικά δεν χρειάζεται ευχέρεια στο χειρισμό των πράξεων ή κάποιες ιδιαίτερες γνώσεις, τελικά τι είναι αυτό που χρειάζεται να έχει κανείς για να μπορεί να ασχοληθεί στοιχειωδώς με αυτά τα ζητήματα; Όπως όλα τα ωραία πράγματα, σίγουρα είναι και αυτό θέμα έμπνευσης. Όμως η παρατηρητικότητα και η ικανότητα της διάκριση είναι μάλλον σημαντικότερα χαρίσματα στην συγκεκριμένη περίπτωση. Όσοι στο παρελθόν είχαν την δυνατότητα να διακρίνουν μέσα στον τομέα της ερευνάς τους εκείνους τους κανόνες, απλούς ή σύνθετους, που άνοιγαν νέους δρόμους για την επιστήμη, γράφτηκαν στην ιστορία ως Μεγάλοι.

Ένας από τους Μεγάλους Μαθηματικούς του 19ου αιώνα ήταν και ο Dirichlet. Γεννήθηκε το 1805 στο Duren (σημερινή Γερμανία) και το πλήρες του όνομα ήταν Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet. Η οικογένειά του καταγόταν από την Βελγική πόλη Richelet και αυτό εξηγεί και το επίθετο που του αποδόθηκε, le jeune de Richelet, που σημαίνει ο νέος του Richelet. Από μικρό παιδί ακόμα, σε ηλικία μόλις δώδεκα χρονών, είχε φανεί η μεγάλη κλίση του στα μαθηματικά. Τόσο πολύ τον ενδιέφεραν, που ξόδευε σχεδόν ολόκληρο το χαρτζιλίκι του σε βιβλία μαθηματικών. Λέγεται ότι, η όλη παρουσία του στο γυμνάσιο ήταν τόσο εξαιρετική, που τον καθιστούσε παράδειγμα προς μίμηση για κάθε συμμαθητή του. Συνεχίζοντας τις σπουδές του μετά το γυμνάσιο στη Γερμανία και τη Γαλλία, ο Dirichlet είχε την τύχη να διδαχθεί από τους σπουδαιότερους Μαθηματικούς εκείνης της εποχής όπως τον Οhm, τον Fourier, τον Laplace, τον Legendre και τον Poisson. Ο ίδιος υπήρξε εξαίρετος δάσκαλος που εκφραζόταν πάντα με πολύ μεγάλη σαφήνεια. Το 1855 μετά το θάνατο του Gauss, είχε την τιμή να τον διαδεχθεί στο Gottingen. Στον Dirichlet οφείλουμε πολλά και σπουδαία μαθηματικά επιτεύγματα. Ένα από τα εντυπωσιακότερα (κυρίως για την απλότητα του) εργαλεία που μας κληροδότησε είναι η Αρχή της Περιστεροφωλιάς.

Η Αρχή της περιστεροφωλιάς αναφέρει πως αν ν+1 περιστέρια καθίσουν σε ν φωλιές τότε σε μία τουλάχιστον φωλιά θα καθίσουν δύο τουλάχιστον περιστέρια. Για παράδειγμα αν έχουμε 5 περιστέρια και 4 φωλιές , θα υπάρχει μία τουλάχιστον φωλιά με δύο τουλάχιστον περιστέρια!

Οι περισσότεροι άνθρωποι εκπλήσσονται από την απλότητα του κανόνα, και αμφισβητούν το μεγαλείο της ανακάλυψης και της σαφήνειας της διατύπωσης. Γεγονός όμως είναι ότι δεν φαίνεται να υπάρχει καμία αναφορά του κανόνα αυτού πουθενά στο μακραίωνο παρελθόν των μαθηματικών. Αυτό σημαίνει βέβαια πως ο κανόνας αυτός, αν δεν προέκυψε από σπουδαία μαθηματική έμπνευση προέκυψε από μεγάλη διαύγεια στη σκέψη, κι αυτό τουλάχιστον πρέπει να το πιστώσουμε στον Dirichlet. Η χρήση δε αυτής της Αρχής εκτείνεται από την Θεωρία Αριθμών μέχρι την Θεωρία Πιθανοτήτων αλλά και σε πλήθος προβλημάτων που φαίνεται να μην έχουν καμία σχέση με Μαθηματικά. Η Αρχή της περιστεροφωλιάς έχει και μια λίγο πιο δύσκολή γενίκευση με τη βοήθεια της οποίας μπορούμε να λύσουμε και άλλα εντυπωσιακά προβλήματα λογικής.

Το πρόβλημα της βιβλιοθήκης με το οποίο ξεκινήσαμε λύνεται και αυτό με την Αρχή της Περιστεροφωλιάς. Πρέπει όμως να κάνουμε την εξής λογική παραδοχή. Τα περισσότερα βιβλία έχουν από 200 μέχρι 800 σελίδες. Δεν είναι λοιπόν παράλογο να υποθέσουμε ότι δεν υπάρχουν βιβλία με περισσότερες από 10.000 σελίδες! Έτσι αν για περιστεροφωλιές βάλλουμε το πλήθος των σελίδων, αυτές θα είναι λιγότερες από 10.000. Στη συνέχεια θεωρούμε πως τα βιβλία της βιβλιοθήκης είναι τα περιστέρια. Έτσι για παράδειγμα αν κάποιο βιβλίο έχει μία σελίδα θα καθίσει στην 1η φωλιά, αν έχει δύο σελίδες στην 2η,αν έχει τριάντα σελίδες στη 30η κ.ο.κ. Όμως τα βιβλία (περιστέρια) είναι πάνω από 10.000 ενώ οι σελίδες (φωλιές) λιγότερες από 10.000 , άρα σύμφωνα με την Αρχή της Περιστεροφωλιάς δύο τουλάχιστον βιβλία (περιστέρια) θα έχουν το ίδιο πλήθος σελίδων (ίδια φωλιά).

Η συνεισφορά του Dirichlet στα μαθηματικά είναι τεράστια και οικουμενικά αναγνωρισμένη. Υπήρξε ένας από τους σπουδαιότερους της εποχής του και το όνομα του ήδη είναι γραμμένο με χρυσά γράμματα στην ιστορία των μαθηματικών. Χαρακτηριστικά είναι τα λόγια ενός μελετητή του…

« … σημαντικοί τομείς των μαθηματικών επηρεάστηκαν από τον Dirichlet. Οι αποδείξεις του ξεκινούσαν χαρακτηριστικά με εκπληκτικά απλές παρατηρήσεις, και ακολουθούσαν εξαιρετικά οξυδερκείς αναλύσεις του υπόλοιπου προβλήματος. Με τον Dirichlet άρχισε η χρυσή εποχή των μαθηματικών στο Βερολίνο!»

                                                H Koch

Ακολουθούν μερικά ακόμα απλά προβλήματα που λύνονται με παρόμοιους τρόπους

1) Μια ομάδα ποδοσφαίρου έχει 11 παίχτες. Αν ο μικρότερος είναι 21 χρονών και ο μεγαλύτερος 30, να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον παίχτες έχουν την ίδια ηλικία.

2) Σ’ ένα εξεταστικό κέντρο οι δύο επιτηρητές σημειώνουν τα γραπτά με το ίδιο χρώμα στυλό, είτε και οι δύο με μπλε είτε και οι δύο με μαύρο. Αν σ’ ένα κουτί υπάρχουν 15 μπλε στυλό και 16 μαύρα, ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός από στυλό που πρέπει να βγάλει κάποιος από το κουτί χωρίς να βλέπει, για να τους δώσει στους επιτηρητές ώστε να μπορούν να κάνουν σωστά τη δουλειά τους.

3) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 2 άνθρωποι στο λεκανοπέδιο Αττικής που έχουν ακριβώς τον ίδιο αριθμό τριχών στο κεφάλι τους. (Επειδή το μυαλό των περισσοτέρων πάει συνήθως στους φαλακρούς, αγνοήσετε αυτή την περίπτωση.)

Μερικοί Σύνδεσμοι

 

1. Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( Πανεπιστήμιο του Αγ. Ανδρέα στη Σκοτία )

 

2. Η Αρχή της Περιστεροφωλίας ( Wikipedia )

Το μαθηματικό δέντρο της ζωής

Έχουν κοινή ρίζα;

(Ένα μαθηματικό πρόβλημα που μπορεί να τύχει σε Ιστορικούς.)

   Σ’ ένα ιστορικό αρχείο βρέθηκαν δύο σχεδόν κατεστραμμένα γενεαλογικά δέντρα καταγεγραμμένα την ίδια χρονιά. Δυστυχώς για τους ερευνητές είχαν χαθεί πολλά στοιχεία. Το μόνο που κατάφεραν να αποσαφηνίσουν σε κάθε δέντρο ήταν η δομή του και τα ονόματα  της τελευταίας γενιάς. Τρία από τα πέντε ονόματα κάθε δέντρου είναι κοινά. Το ένα καταγράφει τέσσερις γενιές ενώ το άλλο πέντε.

Μπορούμε να καταλάβουμε αν πρόκειται για την ίδια οικογένεια ;    

  Οι περισσότεροι άνθρωποι τη μόνη σχέση της Ιστορίας με τα Μαθηματικά που κάπως έχουν ακούσει είναι η Ιστορία των Μαθηματικών.  Τη μελέτη δηλαδή της πορείας της μαθηματικής σκέψεις μέσα στους αιώνες. Από τη προϊστορική εποχή εώς τους Βαβυλώνιους και τους Αιγυπτίους, μετά στους σπουδαίους Έλληνες μαθηματικούς της αρχαιότητας, τους συστηματικούς Άραβες , τους καινοτόμους Ινδούς και τέλος στους σύγχρονους Ευρωπαίους μαθηματικούς που με τις ιδέες τους άλλαξαν κυριολεκτικά την πορεία του κόσμου. Τα τελευταία χρόνια μελετώνται και οι επιδόσεις των αρχαίων λαών της Αμερικανικής ηπείρου όπως οι Αζτέκοι και οι Ίνκας, που φαίνεται να είχαν αρκετά αναπτυγμένες μαθηματικές γνώσεις. Όμως η Ιστορία και τα Μαθηματικά σχετίζονται και με άλλο τρόπο. Δεν είναι μόνο η Ιστορία που μελετά τα Μαθηματικά αλλά καμιά φορά συμβαίνει και το αντίστροφο, δηλαδή τα Μαθηματικά μελετούν την Ιστορία. Για να είμαστε όμως πιο ακριβείς το σωστό είναι να πούμε πως τα Μαθηματικά βοηθούν στη μελέτη στοιχείων που σχετίζονται με την Ιστορία. Η λύση του προβλήματος  που δόθηκε στην αρχή θα μας δώσει μια μικρή ιδέα του πώς μπορεί να συμβεί κάτι τέτοιο, ας τη δούμε λοιπόν…

  Αν κάποιοι άνθρωποι έχουν κοινό πρόγονο, θα μπορεί αυτή η κοινή καταγωγή να καταγραφεί σε ένα γενεαλογικό δέντρο. Αν όμως για τους ανθρώπους αυτούς υπάρχουν για κάποιο λόγο δύο διαφορετικά δέντρα τότε αυτά θα πρέπει να μη παρουσιάζουν αντιφάσεις. Αυτό βέβαια δεν σημαίνει ότι θα ταυτίζονται όλοι οι επιμέρους κλάδοι αυτών των δέντρων, αλλά σίγουρα θα πρέπει οι κλάδοι που αντιστοιχούν στον κοινό  πρόγονο να είναι απολύτως συμβατοί. Ο γενικός κανόνας είναι πώς δύο κλάδοι είναι συμβατοί όταν έχουν τους κοινούς προγόνους στις ίδιες γενιές. 
  
   Προκειμένου τώρα να κάνουμε μια μελέτη συμβατότητας απλοποιούμε όσο γίνεται περισσότερο τους συγκρινόμενους κλάδους κρατώντας μόνο τα κοινά στοιχεία. Στην περίπτωση μας,τους κλάδους με τα κοινά ονόματα.

    Έτσι το αρχικά δέντρα γίνονται πολύ πιο απλά και εύχρηστα για σύγκριση. Τα παραπάνω διαγράμματα μπορούν να απλοποιηθούν ακόμη περισσότερο διαγράφοντας τα μη κοινά μέρη τους, οπότε προκύπτουν δύο δέντρα που έχουν μόνο κοινές απολήξεις στους κλάδους τους ή αλλιώς κοινά φύλλα . 

  Όπως φαίνεται όμως στο παραπάνω σχήμα τα δύο διαγράμματα δεν είναι συμβατά, αφού ταυτίζονται μεν τα ονόματα αλλά δεν ταυτίζονται  οι κλάδοι που καθορίζουν τις γενιές. Βλέπουμε για παράδειγμα πως στο πρώτο δέντρο ο Αντρέας και ο Βαγγέλης έχουν κοινό πρόγονο στην αμέσως προηγούμενη γενιά ενώ στο δεύτερο δέντρο ο κοινός πρόγονος βρίσκεται για τον Αντρέα  δύο γενιές πίσω.  Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι δεν προέρχονται από το ίδιο δέντρο και συνεπώς μπορούμε με ασφάλεια να πούμε ότι τα στοιχεία που ανακάλυψαν οι ιστορικοί στο αρχείο που μελετούσαν δεν ανήκουν στην ίδια οικογένεια.

  Εκτός από την Ιστορία η χρήση των δέντρο-διαγραμμάτων με αυτό τον τρόπο, για να βρούμε δηλαδή την συμβατότητα ή όχι των στοιχείων δύο ξεχωριστών καταγραφών μπορεί να φανεί πολύ χρήσιμη στις επιστήμες της Βιολογίας, της Ζωολογίας και της  Παλαιοντολογίας.  Πολλές  ομάδες επιστημόνων και τώρα και στο παρελθόν έχουν ασχοληθεί με την ταξινόμηση των διαφόρων έμβιων οργανισμών και τα δέντρα είναι  ο συνηθέστερος τρόπος ταξινόμησης τους. Οι ταξινομήσεις  αυτές γίνονται  με στοιχεία που προκύπτουν από ευρήματα όπως τα απολιθώματα, τα καλοδιατηρημένα οστά και οι σκελετοί. Επίσης ταξινομήσεις γίνονται και με βάση στοιχεία μοριακής  βιολογίας όπως ολόκληρο το DNA ενός οργανισμού ή μόνο κάποια γονίδια που χρησιμοποιούνται ως δείκτες. Όπως είναι φυσιολογικό όμως οι ταξινομήσεις που κάνουν οι διάφορες ομάδες δεν ταυτίζονται 100%. Έτσι, μια τέτοια μέθοδος ελέγχου της συμβατότητας δύο ή περισσοτέρων δέντρο-διαγραμμάτων μπορεί να  αυξήσει  κάπως την ακρίβεια της ταξινόμησης και να εντοπίσει τις αδυναμίες ή τις ασάφειες αν υπάρχουν. Βέβαια θα πρέπει πάντα να λαμβάνονται υπ’ όψιν και άλλα επιστημονικά δεδομένα που προκύπτουν από τις ιδιαιτερότητες των συγκρινόμενων δέντρων. 

   Ακόμα πιο τολμηροί μαθηματικοί πιστεύουν πώς αν δεν υπάρχουν αντιφάσεις στα στοιχεία που είναι καταγεγραμμένα στα δέντρο-διαγράμματα αυτά, τότε θα είναι δυνατόν με τα στοιχεία αυτά να ανακατασκευάσουμε έναν ευρύτερο κλάδο του συνολικού δέντρου. Ο κλάδος αυτός μπορεί να μας παρέχει ακόμα και χαμένες πληροφορίες, πληροφορίες δηλαδή που δεν υπάρχουν στα επιμέρους δέντρα. Το αποτέλεσμα μιας τέτοιας ανακατασκευής ονομάζεται υπέρ-δέντρο. Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί διάφορες θεωρίες και μέθοδοι για τη δημιουργία υπέρ-δέντρων και μαζί με τις θεωρίες εμφανίστηκαν και υποστηρικτές τους αλλά και πολλοί που ασκούν κριτική για την εγκυρότητα των μεθόδων αυτών στη ταξινόμηση των ειδών και στη φυλογένεση.  Παρά τις κριτικές όμως οι περισσότεροι θεωρούν πως ένα υπέρ-δέντρο μπορεί να εξεταστεί αρχικά ως προς την επάρκεια του σε κάποια μη μαθηματικά στοιχεία και αν δεν παρουσιάζει αδυναμίες να ελεγχθεί στη συνέχεια ως προς τα καινούργια στοιχεία που προσφέρει για τον τομέα στον οποίο δημιουργήθηκε. Αυτός είναι εξάλλου ένας από τους βασικούς δρόμους της επιστημονικής ανακάλυψης, δοκιμή και απόρριψη ή δοκιμή και αποδοχή !

   Αν τελικά βρεθούν επαρκείς μέθοδοι για την δημιουργία υπέρ-δέντρων στον τομέα αυτό της φυλογένεσης, ίσος να βρεθεί κι ένας καθαρά μαθηματικός τρόπος για να ελέγξει η επιστημονική κοινότητα ακόμα περισσότερο την υπάρχουσα Θεωρία της εξέλιξης της ζωής στον πλανήτη μας. Μπορεί να βρεθεί κανόνας  υπολογισμού των χαμένων προγόνων ενός είδους ή τύπος υπολογισμού του χρόνου εξέλιξης από το ένα είδος στο άλλο. Τέτοια μαθηματικά εργαλεία, αν και φαντάζουν απρόσιτα προς το παρόν,  θα ήταν πολύ χρήσιμα στους επιστήμονες της εξέλιξης μιας και θα τους έδιναν την δυνατότητα να διαψεύσουν ή να επαληθεύσουν εικασίες που μένουν χρόνια αναπάντητες. Πάντως απ’ ότι φαίνεται, η καθαρά μαθηματική έρευνα προς  τη κατεύθυνση των υπέρ-δέντρων έχει για τα καλά ξεκινήσει κα το μόνο που μπορεί να σταματήσει την εφαρμογή των όποιων αποτελεσμάτων στα εξελικτικά ζητήματα είναι μόνο η ισχυρή αμφιβολία για την κοινή καταγωγή των έμβιων οργανισμών ή για να το πούμε αλλιώς η αναίρεση της ίδιας της θεωρίας της εξέλιξης. Κάτι τέτοιο όμως  φαίνεται μάλλον απίθανο!


Μερικοί Σύνδεσμοι


1. Το Δέντρο της Ζωής ( Wikipedia στα Αγγλικά ) 

2. Παρουσίαση Δημιουργίας Υπερδέντρου ( Πολλά και Δύσκολα Μαθηματικά στα Αγγλικά )

Παιχνίδια και Πολιτική

  Δεν είναι εύκολο να καταλάβει κανείς ποιά ανάγκη έχει επιβάλει τέσσερις ώρες Μαθηματικών την εβδομάδα σε κάθε τάξη του γυμνασίου και κυρίως για ποιό λόγο τα παιδιά καλούνται να μάθουν τόσα πολλά!! Άλγεβρα και Γεωμετρία, που με τη σειρά τους χωρίζονται σε διάφορους τομείς όπως Αναλογίες, Εξισώσεις, Συμμετρίες, Τριγωνομετρία, Στερεομετρία και ένα σωρό άλλα. Είναι όλα αυτά απαραίτητα; Ναι, και μακάρι να μπορούσαμε να διδάξουμε και άλλα. Όταν είμαστε μικροί δεν καταλαβαίνουμε την αξία κάποιων πραγμάτων, αλλά η ζωή πολλές φορές μας αναγκάζει να τα χρησιμοποιούμε. Τα μαθηματικά είναι μια τέτοια περίπτωση. Όσο πηγαίνουμε στο σχολείο το μόνο που βλέπουμε είναι τα βάσανα που μας προκαλούν, όταν μεγαλώσουμε καταλαβαίνουμε την αξία τους, αφού τα συναντάμε παντού… στη βιολογία, στην οικονομία, στους υπολογιστές  ακόμα και  στο παιχνίδια.

  Ενώ οι περισσότεροι μαθητές έχουν σχεδόν πάντα το νου τους σε κάποιο παιχνίδι, σχεδόν πότε δεν το συνδέουν με τα μαθηματικά. Το γεγονός αυτό είναι πολύ φυσιολογικό μιας και οι μαθητές ασχολούνται με τα παιχνίδια περισσότερο για την απόλαυση που παίρνουν από αυτά και λιγότερο για τα όποια οφέλη τους αποδίδουν. Από την άλλη οι μεγαλύτεροι θα παίξουν ένα παιχνίδι συνήθως για να αποκομίσουν κάποιο κέρδος. Όταν προσβλέπει κανείς στο κέρδος, δεν μπορεί να αφήσει τα πράγματα στην τύχη τους, ψάχνει αναγκαστικά την καλύτερη στρατηγική νίκης. Όταν επιπλέον αυτοί που ψάχνουν είναι μαθηματικοί, τότε δημιουργήται…. η ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Πολύ θα ήθελα να έχω την δυνατότητα να αναλύσω διάφορες πτυχές αυτού του εντυπωσιακού και πολύ γρήγορα αναπτυσσόμενου κλάδου των μαθηματικών, αλλά προς το παρόν θα εστιάσω στη σχέση του με την Πολιτική!

   Ας θεωρήσουμε λοιπόν πως η πολιτική είναι ένα παιχνίδι. Για τις ανάγκες αυτής της ανάρτησης θα απλοποιήσουμε πάρα πολύ τους κανόνες του παιχνιδιού. Θα εστιάσουμε περισσότερο στον τρόπο σκέψης και λιγότερο στο αποτέλεσμα, αλλά όπως θα δείτε κι εσείς και το αποτέλεσμα θα είναι αξιοπρόσεκτο. Ξεκινάμε με τις απλοποιημένες παραδοχές. Επαναλαμβάνω πως αυτές δεν ανταποκρίνονται πλήρως στην πραγματικότητα αλλά μας δίνουν μια καλή γενική εικόνα:

Παραδοχή Πρώτη

Όλοι οι ψηφοφόροι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι σε μια ιδεολογική κλίμακα από το 1 έως το 10, όπου το 1 είναι η άκρα αριστερά και το 10 η άκρα δεξιά. Αυτό σημαίνει πως 10% των ψηφοφόρων έχουν ιδεολογία 1 (άκρα αριστερά), 10% έχουν ιδεολογία 2, 10% ιδεολογία 3, …, 10% έχουν ιδεολογία 10 (άκρα δεξιά). Αυτό βέβαια σε καμία περίπτωση δεν ισχύει στη πραγματικότητα.

Παραδοχή Δεύτερη

Υπάρχουν δύο μόνο υποψήφιοι που διεκδικούν κάποιο αξίωμα ο καλός =☺ και ο κακός =☻. Καλούνται και αυτοί να τοποθετηθούν ιδεολογικά από το 1 έως το 10 και στη συνέχεια να διεκδικήσουν την ψήφο του κόσμου. Ούτε αυτή η παραδοχή δεν φαίνεται να έχει μεγάλη σχέση με την πραγματικότητα Τις περισσότερες φορές μοίαζει να είναι και οι δύο κακοί!

Παραδοχή Τρίτη

Ο κόσμος ψηφίζει τον υποψήφιο που είναι πιο κοντά στη δική του θέση σε αυτήν την ιδεολογική κλίμακα. Αν τύχει οι υποψήφιοι να βρίσκονται σε ίση απόσταση από μια συγκεκριμένη ιδεολογική θέση, τότε μοιράζονται τους ψηφοφόρους της. Και σε αυτό το σημείο μπορεί κάποιος να εγείρει πολλές ενστάσεις αλλά τονίζω πως οι απλουστεύσεις αυτές έγιναν μόνο για τη δική μας ευκολία.

Το ερώτημα που τίθεται με βάση αυτές τις παραδοχές είναι … « Ποια είναι η καλύτερη στρατηγική (ιδεολογική θέση) για κάποιον υποψήφιο ώστε να κερδίσει τις εκλογές; »

Σε κάθε παιχνίδι υπάρχουν λογιών–λογιών στρατηγικές. Άλλες είναι καλύτερες σε μια περίπτωση άλλες είναι χειρότερες. Υπάρχουν όμως  και στρατηγικές που είναι πάντα καλύτερες από κάποιες άλλες . Αν για κάποιο παίχτη η στρατηγική Α φέρνει πάντα χειρότερα αποτελέσματα από τη στρατηγική Β, τότε λέμε πως η στρατηγική Α κυριαρχείται από την στρατηγική Β και είναι προφανές πως ο παίχτης θα προτιμάει πάντα την Β αντί για την Α.

  Σε αυτό το παιχνίδι κάθε παίχτης έχει 10 στρατηγικές, δηλαδή 10 ιδεολογικές θέσεις που μπορεί να επιλέξει για να δώσει τον αγώνα του. Το λογικό είναι να επιλέξει εκείνη που θα του φέρει περισσότερους ψηφοφόρους, χωρίς να αγνοεί την τοποθέτηση και του αντιπάλου του. Μήπως υπάρχουν στρατηγικές που κυριαρχούνται, ποιες είναι αυτές και ποια είναι η καλύτερη λύση για τον υποψήφιο;

  Έχω την αίσθηση πως τέτοιου είδους ερωτήματα δεν είναι εύκολο να απαντηθούν έτσι γρήγορα, αλλά από την άλλη δεν υπάρχει απεριόριστος χρόνος και χώρος, όποτε πρέπει να δοθεί μια σύντομη αλλά κατανοητή απάντηση. Θα προσπαθήσω λοιπόν να εξηγήσω πως η θέση 1 κυριαρχείται από την θέση 2. Ο σκοπός είναι να δείξω πως αν εμείς (☺) τοποθετηθούμε στη θέση 2 θα έχουμε πάντα καλύτερα αποτελέσματα απ’ ότι αν τοποθετηθούμε στη θέση 1, ανεξάρτητα από το που θα παίξει ο αντίπαλός μας (☻).

Ας υποθέσουμε πως παίζουμε και οι δύο στη θέση 1:

τότε αφού έχουμε ίσες αποστάσεις από όλους, θα τους μοιραστούμε και πάει 50% στον καθένα.


Αν όμως ως απάντηση στο 1 του αντιπάλου εμείς τοποθετηθούμε στο 2 :

τότε ο αντίπαλος παίρνει 10% από τη θέση 1 κι εμείς 90% γιατί είμαστε πιο κοντά σε όλους τους υπόλοιπους. Έτσι αν ο αντίπαλος βρεθεί στο 1, μας συμφέρει να είμαστε στο 2.

Προσοχή!!

Δεν δίνουμε τόσο σημασία στο γεγονός ότι κερδίσαμε (εμείς=>90%, αντίπαλός=>10%) αλλά στο ότι το αποτέλεσμά είναι καλύτερο για μας στη θέση 2=>90% από τη θέση 1=>50%. Κάτι ανάλογο συμβαίνει και με όλες τις άλλες στρατηγικές του αντιπάλου. Ένα ακόμα παράδειγμα θα καταδείξει πως η 1 κυριαρχείται από την 2.

Αν ο αντίπαλος πάει στο 7 κι εμείς στο 1:

τότε ο αντίπαλος θα πάρει 65% γιατί είναι πιο κοντά στους ψηφοφόρους που είναι στις θέσεις 10,9,8,7,6,5 και το 4 μοιρασμένο. Ενώ εμείς 35% γιατί είμαστε πιο κοντά στις θέσεις 1,2,3 και το 4 μοιρασμένο.

Αν όμως σε απάντηση στο 7 εμείς πάμε στο 2:

τότε ο αντίπαλος παίρνει 60% από τις θέσεις 10,9,8,7,6 και 5 ενώ εμείς 40% από τις θέσεις 1,2,3 και 4. Βλέπουμε πως παρόλο που δεν καταφέραμε να κερδίσουμε, είμαστε εντούτοις σε λίγο καλύτερη θέση, αφού είχαμε στο 1=>35% ενώ έχουμε στο 2=> 40%. Άρα πάλι προτιμάμε τη θέση 2 από τη θέση 1. Με δύο λόγια… μας συμφέρει πάντα η θέση 2 αντί της θέσης 1 ό,τι και να κάνει ο αντίπαλός μας.

Με ανάλογο τρόπο βρίσκουμε πως η στρατηγική 10 κυριαρχείται από την στρατηγική 9, δηλαδή πως μας συμφέρει πάντα η θέση 9 από την θέση 10!

Πρώτο Πολιτικό Συμπέρασμα

Οι πολιτικές τοποθετήσεις στα άκρα είναι μαθηματικά καταδικασμένες σε ήττα!!

Ποιά είναι λοιπόν η λογική αντίδραση σε αυτή τη διαπίστωση; Μα φυσικά, να αγνοήσουμε αυτές τις δύο ακραίες στρατηγικές! Αν όμως αγνοήσουμε τις ακραίες θέσεις το ιδεολογικό φάσμα στο οποίο θα «ποντάρουν» οι υποψήφιοι θα είναι... 2 3 4 5 6 7 8 9.

Και το ερώτημα που τίθεται τώρα είναι… «Ισχύει το ίδιο για τις ακραίες στρατηγικές 2 κα 9, δηλαδή μπορούν και αυτές να διαγραφτούν με τον ίδιο τρόπο; » Η απάντηση έρχεται απλά και χωρίς ιδιαίτερες δυσκολίες … ΝΑΙ ! Οπότε αν επαναλάβουμε μερικές φορές τη διαδικασία αυτή θα μείνουν στο τέλος οι στρατηγικές 5 και 6.

Δεύτερο Πολιτικό Συμπέρασμα

Οι καλύτερες στρατηγικές για κάποιον υποψήφιο που θέλει να πείσει όσους γίνεται περισσότερους ψηφοφόρους είναι οι μεσαίες στρατηγικές, αυτό δηλαδή που ονομάζεται από τα μέσα μαζικής επικοινωνίας «Μεσαίος Χώρος» ή «Κέντρο».

   Βλέπουμε λοιπόν πως τα μαθηματικά, και ειδικότερα η Θεωρία Παιγνίων, μπορούν να βοηθήσουν έναν πολιτικό να σχεδιάσει σωστά την προεκλογική εκστρατεία του, κι έτσι μπορούν σε ένα βαθμό να συμβάλουν στη έκβαση του αποτελέσματος και συνεπώς να επηρεάσουν τη ζωή ολόκληρης της κοινωνίας. Βέβαια, για άλλη μια φορά είναι φανερό πως δεν είναι τα μαθηματικά που καθορίζουν την πορεία ενός λαού αλλά οι άνθρωποι που γνωρίζουν ή αγνοούν κάποια απλά πράγματα. Οπότε …

Ανεξάρτητα από αυτά που μας λέει, αυτά που μας τάζει και γενικά από το πώς αυτοπροσδιορίζεται ένας υποψήφιος, αυτό που έχει αξία για μας που καλούμαστε να ψηφίσουμε είναι το ποιος πραγματικά είναι αυτός ο υποψήφιος! Και αυτό είμαστε υποχρεωμένοι να το ψάχνουμε πάρα πολύ καλά!!!