Η βαλίτσα με τα εκατομμύρια

Θυμάμαι πριν μερικά χρόνια να ακούω σε μια διπλανή παρέα κάποιον να λέει με πολύ παραστατικό τρόπο πως η πιθανότητα να κερδίσεις στο Τζόκερ είναι ίδια με την πιθανότητα να βγεις από το σπίτι σου και να σκοντάψεις σε μια βαλίτσα με εκατομμύρια. Η αλήθεια είναι πως αυτή η κουβέντα μου έκανε τρομερή εντύπωση, γι’ αυτό και δεν την έχω ακόμη ξεχάσει, αλλά δεν πολυκατάλαβα πώς ακριβώς το εννοούσε. Ήθελε να πει πως αν είσαι τυχερός δεν χρειάζεται να παίζεις τέτοια παιχνίδια γιατί έτσι κι αλλιώς θα πέσεις πάνω σε εκατομμύρια ή απλώς ότι είναι σχεδόν αδύνατον να κερδίσεις; Ίσως τελικά να μην έχει και τόση σημασία τι από τα δύο εννοούσε ο άγνωστος αυτός «φιλόσοφος», αφού πάρα πολλοί άνθρωποι εναποθέτουν τις ελπίδες τους για μια καλύτερη ζωή σε τέτοια τυχερά παιχνίδια. Καλό είναι όμως όταν παίζεις ένα παιχνίδι να ξέρεις και τους κανόνες του αλλά και ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσεις. Σε καμία περίπτωση δεν θα συμβούλευα κάποιον ούτε να παίζει ούτε να μην παίζει, απλώς θέλω να προσπαθήσω να δείξω όσο γίνεται πιο απλά (αυτό κι αν είναι αδύνατον) πώς ακριβώς έχουν τα πράγματα.

Ο σκοπός μας είναι να βρούμε την πιθανότητα να κερδίσουμε παίζοντας μία στήλη και από εκεί και πέρα μπορούμε στη συνέχεια να βρούμε την πιθανότητα και για περισσότερες. Αρχικά πρέπει να υπολογίσουμε πόσες διαφορετικές στήλες μπορούν να προκύψουν από μια κλήρωση και αυτό θα το κάνουμε με την χρήση ενός και μόνο κανόνα. Ο κανόνας αυτός είναι η Βασική Αρχή Απαρίθμησης .Η Αρχή αυτή λέει πως αν μια διαδικασία ολοκληρώνεται σε ξεχωριστές φάσεις και η κάθε φάση γίνεται μ’ ένα πλήθος διαφορετικών τρόπων τότε η συνολική διαδικασία γίνεται τελικά με το γινόμενο των τρόπων των επί μέρους φάσεων. («Τι είναι αυτά που γράφεις βρε τρελέ!» … αυτή είναι η φωνή της συνείδησής μου αλλά μην πανικοβάλλεστε δεν είναι τόσο πολύπλοκο.) Για παράδειγμα αν ένα ζευγάρι σκέφτεται να κάνει τρία παιδιά πόσοι συνδυασμοί μπορούν να προκύψουν; Η όλη διαδικασία γίνεται σε τρεις φάσεις ( γέννες ) και η κάθε μια έχει δύο διαφορετικά αποτελέσματα ( Αγόρι ή Κορίτσι ), άρα οι συνολικοί συνδυασμοί που μπορεί να προκύψουν είναι 2•2•2 = 8 .

Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και με το Τζόκερ μόνο που γίνεται σε δύο φάσεις, άρα το πλήθος είναι Ν = Α•Β όπου,

Α = Οι τρόποι με τους οποίους γίνεται η κλήρωση των πέντε ( 5 ) από τους σαράντα πέντε ( 45 ) αριθμούς.

Β = Οι τρόποι με τους οποίους γίνεται η κλήρωση του Τζόκερ , ένας ( 1 ) από τους είκοσι ( 20 ) αριθμούς.

Πάλι θα χρησιμοποιήσουμε τη Βασική Αρχή Απαρίθμησης για κάθε φάση. Για την πρώτη ξέρουμε ότι ολοκληρώνεται σε πέντε φάσεις ( αριθμούς ). Ο πρώτος έχει 45 δυνατά αποτελέσματα, ο δεύτερος αφού έχει βγει το ένα νούμερο έχει 44, ο τρίτος 43, τέταρτος 42 και ο πέμπτος τελικά 41 δυνατά αποτελέσματα. Επομένως το Α θα πρέπει να είναι Α = 45•44•43•42•41 = 146.611.080. Αριθμός όμως που εκτός από εξωφρενικά μεγάλος είναι και λανθασμένος! Το λάθος στα Μαθηματικά βλέπετε είναι τόσο συχνό όσο είναι και στην καθημερινή ζωή. Όλοι γνωρίζουμε από προσωπική μας εμπειρία πως είναι πολύ πιο εύκολο να αστοχήσουμε παρά να πετύχουμε , αφού υπάρχουν συνήθως άπειροι λανθασμένοι χειρισμοί και ελάχιστοι σωστοί για κάθε θέμα. Έτσι απ’ ό,τι φαίνεται ο μόνος σίγουρος δρόμος για να αποφύγεις το λάθος είναι να μην κάνεις απολύτως τίποτα, που μάλλον είναι… λάθος! Γιατί όμως δεν είναι σωστός ο υπολογισμός που έχουμε κάνει μέχρι τώρα για το Α; Δεν είναι, γιατί απλά μας ξέφυγε η εξής λεπτομέρεια. Με τον τρόπο αυτό, οι πεντάδες που έχουν ακριβώς τα ίδια νούμερα -για παράδειγμα (5 , 15 , 25 , 35 , 45) και (15 , 5 , 25 , 45 , 35) αλλά με διαφορετική σειρά, υπολογίζονται πολλές φορές. Ενώ στην πραγματικότητα πρόκειται για μία μόνο πεντάδα. Δεν ανησυχούμε όμως και προχωράμε στη λύση και του νέου προβλήματος που παρουσιάστηκε.

Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να βάλουμε πέντε νούμερα στη σειρά; Πάλι χρησιμοποιούμε τη Βασική Αρχή Απαρίθμησης. Η διαδικασία της τοποθέτησης μπορεί να γίνει σε πέντε φάσεις ( θέσεις ). Στην πρώτη θέση 5 αριθμούς, στη δεύτερη 4 αριθμούς αφού όπως και πριν έχει ήδη τοποθετηθεί ο ένας, στη τρίτη 3, στη τέταρτη 2 και στη πέμπτη 1, δηλαδή 5•4•3•2•1 = 120. Κάθε πεντάδα λοιπόν μπορεί να προκύψει με 120 διαφορετικούς τρόπους. Με αυτό το δεδομένο τώρα μπορούμε να βρούμε αυτό που ψάχνουμε τόση ώρα. Δεν μένει παρά να διαιρέσουμε το προηγούμενο αποτέλεσμα με 120 δηλαδή Α = 146.611.080 : 120 = 1.221.759. Βρήκαμε λοιπόν ότι η πρώτη φάση του Τζόκερ ολοκληρώνεται με Α = 1.221.759 τρόπους. Η δεύτερη είναι πολύ πιο εύκολη αφού επιλέγουμε ένα αριθμό από είκοσι. Γίνεται μόνο με Β = 20 τρόπους. Τελικά από τις δύο κληρωτίδες του παιχνιδιού μπορεί να προκύψουν Ν= 1.221.759 • 20 = 24435180 στήλες .

Αν λοιπόν έχουμε παίξει μια μόνο στήλη η πιθανότητα να κερδίσουμε είναι 1/24435180 ή αν το προτιμάτε σε ποσοστό επί τοις εκατό, όπως συνηθίζεται άλλωστε, αυτό είναι 0,0000041 %, που είναι όπως καταλαβαίνετε ένας πραγματικά πολύ μικρός αριθμός. Με άλλα λόγια αν παίξει κάποιος 250.000 διαφορετικές στήλες η πιθανότητα να κερδίσει είναι λίγο πάνω από 1% ! Δεν θέλω να απογοητεύσω τους απανταχού Τζοκερομανείς αλλά μάλλον δεν αξίζει τον κόπο. Από την άλλη όμως ένα σημαντικό πλήθος υπερτυχερών διαψεύδει αυτή τη μικρή πιθανότητα. Καλή Πρωτοχρονιά λοιπόν και καλή τύχη σε όλους … με όποιον τρόπο κι αν την κυνηγάτε!

Χριστουγεννιάτικο

« Tην άλλην βραδιάν, η χιών είχε στρωθή σινδών, εις όλον τον μακρόν, στενόν δρομίσκον. ― Άσπρο σινδόνι... να μας ασπρίση όλους στο μάτι του Θεού... ν’ ασπρίσουν τα σωθικά μας... να μην έχουμε κακή καρδιά μέσα μας. »

από το διήγημα Ο Έρωτας στα χιόνιa

     του Αλέξανδρου Παπαδιαμάντη   

Τώρα που πλησιάζουν οι γιορτές σκέφτηκα να αλλάξω λίγο θεματολογία και να ασχοληθώ μ΄ ένα διήγημα του Παπαδιαμάντη. Το διήγημα αυτό είναι ένα από τα ελάχιστα πεζά κείμενα που μπορώ να διαβάσω ολόκληρο ξανά και ξανά και ξανά. Πιο πολύ με ποίημα μοιάζει παρά με πεζογραφία. Τι να θαυμάσει κανείς περισσότερο… τα γεμάτα τοπία του χειμώνα, το ψυχογράφημα το πρωταγωνιστή, τα υπέροχα παιχνίδια που κάνει με το χιόνι ;

Η αλήθεια είναι ότι τρέφω μια ιδιαίτερη συμπάθεια για τον Παπαδιαμάντη και νομίζω πως κάτι έργα του σαν και αυτό δικαιολογούν απόλυτα τη αδυναμία μου αυτή. Δεν έχω καμία διάθεση να κάνω μακροσκελή ανάλυση του μικρού αυτού αριστουργήματος, πιστεύω εξάλλου πως μερικά πράγματα δεν αξίζει να τα αναλύουμε πολύ, αρκεί η χαρά που μας δίνουν από μόνα τους. Θέλω όμως να σταθώ λίγο στην εικόνα και στην ερμηνεία της εικόνας που δίνει ο ίδιος στο απόσπασμα που παραθέτω στη αρχή.

Το χιόνι πραγματικά είναι ένα άσπρο σεντόνι που κάνει όσα λέει εδώ ο Παπαδιαμάντης. Για σκεφτείτε τις στιγμές που ζούμε όταν αρχίζει να χιονίζει πιο έντονα. Όλοι βγαίνουμε έξω να τρέξουμε και να χαρούμε. Όλοι μικροί και μεγάλοι παίζουν χιονοπόλεμο ( εδώ τολμώ να πω κυρίως οι μεγάλοι ). Οι γονείς φτιάχνουν χιονάνθρωπους με τα παιδιά τους, οι παππούδες κι οι γιαγιάδες πλησιάζουν με νοσταλγία τα παράθυρα, ακόμα και αυτή η τηλεόραση που τις άλλες μέρες μας βομβαρδίζει με ένα σωρό ενοχλητικές εικόνες μόλις χιονίσει αλλάζει όψη, γίνεται πιο χαρούμενη, πιο γιορτινή, πιο συμπαθητική γενικότερα. Με το χιόνι οι πιο πολλοί άνθρωποι κάνουμε σαν μικρά παιδιά. Εμείς οι κάπως μεγαλύτεροι, βρίσκουμε για λίγο την χαμένη μας παιδικότητα και τα όντως μικρά παιδία χαίρονται διπλά… μια για το παιχνίδι που ουρανόθεν τους δόθηκε και μια για την δική μας επιστροφή στην αθωότητα, όπως χαίρονται κι οι Άγγελοι με την μεταμέλεια κάθε παραπλανημένης ψυχής ( για να χρησιμοποιήσω κι εγώ μια Παπαδιαμαντηκή παρομοίωση ). Έτσι λοιπόν που φερόμαστε -σαν μικρά παιδιά- είναι σαν… «να μην έχουμε κακή καρδία μέσα μας», είναι σαν… «να άσπρισαν τα σωθικά μας», όπως ακριβώς τα λέει ο μπάρμπα Αλέξανδρος κι όλα αυτά χάρη στο χιόνι, στο άσπρο σεντόνι που… μας ασπρίζει όλους κάθε φορά που πέφτει στο μάτι του Θεού.

Δεν μπορώ να ξέρω αν με όλα τα παραπάνω κατάφερα να σας μεταδώσω λίγη έστω από την μαγεία που αισθάνομαι κάθε φορά που διαβάζω το διήγημα αυτό, ίσος πάλι θα ήταν καλύτερα να σας άφηνα να το χαρείτε χωρίς τα δικά μου σχόλια. Σε κάθε περίπτωση προτρέπω ανεπιφύλακτα όσους δεν το έχετε διαβάσει να το κάνετε οπωσδήποτε και νομίζω πως η περίοδος των Χριστουγέννων είναι η καλύτερη εποχή. Εύχομαι σε όλους καλά Χριστούγεννα με αγάπη, υγεία, χαρά και ό,τι άλλο δίνει αξία και ομορφιά στη ζωή σας … και βέβαια με πολύ – πολύ χιόνι !!!

Υ.Γ.
Ψάχνοντας συνδέσμους για την ανάρτηση αυτή, βρήκα ένα ντοκιμαντέρ της ΕΡΤ για το συγκεκριμένο διήγημα. Εκεί διαπίστωσα πως όλα αυτά,  λίγα προσφέρουν σε κάποιον που θέλει να το διαβάσει και ήμουν έτοιμος να τα διαγράψω. Δεν το έκανα όμως, όχι μόνο επειδή λυπήθηκα το κόπο μου  αλλά πιο πολύ γιατί είναι σκέψεις που πραγματικά θέλω να μοιραστώ μαζί σας.

1. Αλέξανδρος Παπαδιαμάντης

2. Ο Έρωτας στα χιόνια ( Το κείμενο απο τη Βικιθήκη)

3. Ο Έρωτας στα χίονια ( Ντοκιμαντέρ της ΕΡΤ )

Οι δύο δρόμοι

Απ’ όλα τα κατορθώματα του μυθικού μας ήρωα Ηρακλή, το σπουδαιότερο και μάλλον το πιο δύσκολο πρέπει να ήταν η επιλογή του δρόμου της Αρετής έναντι αυτού της Κακίας. Ο μύθος λέει πως όταν ο Ηρακλής έφτασε σε κάποια ηλικία που μόνος του θα αποφάσιζε προς τα πού θα κινηθεί η ζωή του βρέθηκε σ’ ένα σταυροδρόμι και κουρασμένος έκατσε να ξαποστάσει. Ξαφνικά, εμφανίστηκαν μπροστά του δύο όμορφες γυναίκες, μία με ακριβά φορέματα και στολίδια που ονομαζόταν Κακία και μια απλά ντυμένη χωρίς πολλά στολίδια που ονομαζόταν Αρετή. Η πρώτη του πρότεινε μια ζωή γεμάτη αρπαγές, φόνους και κάθε είδους αδικίες που θα του προσέφεραν όμως πλούτη και ποικίλες απολαύσεις ενώ η δεύτερη μια ζωή με δυσκολίες, κόπους και πολλές δοκιμασίες με μόνη απόλαυση τη χαρά που δίνει η δικαιοσύνη και ο τίμιος μόχθος. Ο Ηρακλής, συνεχίζει ο μύθος, σκέφτηκε τις δύο προσφορές και τελικά αποφάσισε να ακολουθήσει το δρόμο της Αρετής, ο οποίος όπως μας μαθαίνουν τελικά του πρόσφερε πολύ περισσότερα! Χωρίς να είμαστε απολύτως βέβαιοι, μπορούμε να καταλάβουμε πως ο χρόνος που χρειάστηκε ο Ηρακλής για να αποφασίσει για το τι ακριβώς θα κάνει, πιθανότατα αναλώθηκε σε κάποια εσωτερική πάλη της συνείδησης του κα όχι τόσο σε μια διανοητική διαδικασία. Τις στιγμές εκείνες ο ήρωας δεν πρέπει να έκανε κάποιους υπολογισμούς, αλλά μάλλον αγωνιζόταν να μην χάσει την εμπιστοσύνη του στις αξίες που είχε μέχρι τότε διδαχτεί. Αυτόν τον αγώνα τον δίνουν και σήμερα όλοι οι νέοι άνθρωποι που για οποιοδήποτε λόγο αποφασίζουν να δοκιμάσουν τις αντοχές τους σε πιο μεγάλους και πιο δύσκολους στίβους!

Σκεφτείτε όμως ότι θα μπορούσε να είναι ακόμα πιο δύσκολη η επιλογή, αν για παράδειγμα δεν ήξερε ποιά είναι η Αρετή και ποιά η Κακία παρά μόνο ότι η μια λέει πάντα αλήθεια και η άλλη πάντα ψέματα. Στην περίπτωση αυτή αν έκανε και στις δύο την ερώτηση « Ποιός είναι ο δρόμος της Αρετής; » και λάμβανε τις απαντήσεις «Ο δικός μου δρόμος οδηγεί στην Αρετή.» και «Αν ο δικός της δρόμος δεν σ’ οδηγεί στην Αρετή τότε το κάνει ο δικός μου.», ποιό δρόμο θα έπρεπε να πάρει, τον πρώτο ή τον δεύτερο;

Ο γρίφος αυτός καμία σχέση δεν έχει βέβαια με τον μύθο, αλλά είναι απλά ένα πρόβλημα Λογικής. Τι είναι όμως η Λογική και πως συνδέεται με τα Μαθηματικά; Γεγονός είναι πως δεν υπάρχει ομοφωνία για τον ακριβή ορισμό και για το αντικείμενο μελέτης της. Ωστόσο σε γενικές γραμμές μπορεί χαρακτηριστεί ως η σπουδή της αλήθειας επιχειρημάτων (αποφάνσεων, προτάσεων) που βασίζεται απολύτως στις σημασίες εκείνων των φράσεων που λαμβάνονται ως όροι στα επιχειρήματα αυτά. ( από την ΄Εγκυκλοπαίδεια, Πάπυρος-Λαρούς-Μπριτάνικα, λήμμα Λογική )  

Αρχικά προέκυψε από την αρχαία φιλοσοφία και θεμελιωτής της θεωρείται ο Αριστοτέλης αφού στο έργο του «Όργανον» γίνεται μια πρώτη αλλά πολύ σημαντική μελέτη των βασικών προτάσεών της. Αργότερα όμως με την επικράτηση των Ρωμαίων και μέχρι τα μέσα του 19ου αιώνα, η Λογική κατά κάποιο τρόπο παραγκωνίστηκε. Με μοναδική εξαίρεση ίσως τον Γερμανό φιλόσοφο Leibniz που τον 17ο αιώνα την ξαναφέρνει κάπως στο προσκήνιο και προσπαθεί να κάνει μια πρώτη σύνδεση με τα Μαθηματικά. Όμως οι ιδέες του ήταν πολύ πρώιμες για τη εποχή του. Το πραγματικό ενδιαφέρον αναζωπυρώθηκε με την ανακάλυψη των Μη Ευκλείδειων Γεωμετριών, που ήταν για την εποχή εκείνη παράξενες μαθηματικές δομές, καθώς και με κάποια παράδοξα που προέκυψαν από τη θεμελίωση της Θεωρίας των Συνόλων που έγινε από τον Cantor. Ακριβώς εκείνη την εποχή δημιουργήθηκε και η Μαθηματική Λογική από τον Άγγλο Μαθηματικό Boole. Η μεγάλη πρόοδος έγινε όμως τον 20ο αιώνα με τους Russell, Wittgenstein, Godel και Τuring και μέχρι τις μέρες μας η Λογική έχει εξελιχθεί σε πολύ μεγάλο βαθμό επηρεάζοντας πια όχι μόνο τα Μαθηματικά, τη Φιλοσοφία και το θεωρητικό μέρος των επιστημών αλλά πολύ βασικούς πρακτικούς τομείς της σύγχρονης τεχνολογίας. Για παράδειγμα με το Λογικό Προγραμματισμό και την Ασαφή Λογική προσφέρει τεράστιες υπηρεσίες στην επιστήμη των ηλεκτρονικών υπολογιστών .

Για να δούμε τώρα πώς μπορούμε να βοηθήσουμε τον Ηρακλή! Αφού ξέρουμε ότι η μια γυναίκα λέει πάντα αλήθεια και η άλλη πάντα ψέματα, εξετάζουμε προσεκτικά τις δύο απαντήσεις και παρατηρούμε πως η πρόταση «Αν ο δικός της δρόμος δεν σ’ οδηγεί στην Αρετή τότε το κάνει ο δικός μου.» είναι αληθής, αφού ένας από τους δύο δρόμους σίγουρα οδηγεί στη Αρετή. Έτσι συμπεραίνουμε πως η άλλη είναι ψευδής επομένως στην Αρετή οδηγεί ο δεύτερος δρόμος. Τελικά μερικά πράγματα είναι πολύ πιο εύκολα απ’ ό,τι αρχικά φαίνονται, το ίδιο μπορεί να συμβαίνει και με το πραγματικό γρίφο (δίλημμα) για την επιλογή Αρετής ή Κακίας. Ίσως ο δρόμος της Αρετής να είναι μεν επίπονος, αλλά όχι και τόσο ακατόρθωτος όσο μας τον παρουσιάζουν! Την επόμενη φορά λοιπόν που θα βρεθείτε πάλι σ’ αυτό το σταυροδρόμι καθίστε κι εσείς λίγο να το σκεφτείτε. Η τελική ανταμοιβή αξίζει, νομίζω, αυτές τις λίγες στιγμές!

Άλλες δύο παραλλαγές του γρίφου

1η Παραλλαγή:

Πάλι δεν ήξερε ποιά είναι η Αρετή και ποιά η Κακία, αλλά μόνο ότι η μια λέει πάντα αλήθεια και η άλλη πάντα ψέματα. Και πάλι κάνει την ίδια ερώτηση « Ποιός είναι ο δρόμος της Αρετής; ». Οι απαντήσεις τώρα είναι : «Εκείνος ο δρόμος οδηγεί στην Αρετή.» και «Και οι δύο δρόμοι οδηγούν στη Κακία.» . Ποιό δρόμο θα έπρεπε να πάρει, τον πρώτο ή το δεύτερο;

2η Παραλλαγή:

Σ’ αυτή την παραλλαγή οι δύο γυναίκες συνεννοούνται μεταξύ τους και λένε ή και οι δύο αλήθεια ή και οι δύο ψέματα. Η ερώτηση παραμένει η ίδια « Ποιός είναι ο δρόμος της Αρετής; ». Και οι απαντήσεις είναι : «Ο άλλος δρόμος οδηγεί στην Αρετή.» και «Δεν υπάρχει δρόμος που να οδηγεί στην Αρετή.». Τώρα ποιό δρόμο θα πρέπει να διαλέξει ;

Μερικοί Σύνδεσμοι
 
1. Eλληνική Μυθολογία
 
2.  H Αριστοτέλεια Λογική ( Stanford Encyclopedia of Philosophie )
 
3. LOGICOMIX

4. Βιβλιο : 99 γρίφοι και παιχνίδια λογικής

Οι καλλιτέχνες των μαθηματικών

Από την αρχή ακόμα, την εποχή δηλαδή που τέθηκαν τα πρώτα θεμέλια των μαθηματικών, η επιστήμη αυτή χωρίστηκε σε δύο μεγάλους κλάδους· την Αριθμητική και την Γεωμετρία. Η μελέτη των σχημάτων και των ιδιοτήτων τους ήταν πάντα μια προσφιλής ενασχόληση των μαθηματικών όλων των εποχών. Σε αντίθεση όμως με τον κλάδο που ασχολείται με τους αριθμούς η Γεωμετρία έχει το μεγάλο πλεονέκτημα να είναι εξίσου δημοφιλής και στους μη έχοντες ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις.

Στα μαθηματικά, το σχήμα θα παίζει πάντα πρωταγωνιστικό ρόλο. Από τα πιο απλά όπως το τρίγωνο, η σφαίρα και ο μαίανδρος μέχρι και τα πιο πολύπλοκα, τα γεωμετρικά σχήματα ασκούν μια παράξενη γοητεία στο ανθρώπινο πνεύμα. Δεν είναι λοιπόν παράξενο που από την αρχαιότητα η μελέτη της γεωμετρίας συνδέθηκε με όλες σχεδόν τις εκδηλώσεις του ανθρώπινου πολιτισμού. Οι πυραμίδες για παράδειγμα πολύ συχνά χρησιμοποιηθήκαν ως θρησκευτικοί χώροι και πολλά σχήματα όπως ο μαίανδρος που προαναφέρθηκε, χρησιμοποιήθηκαν για τον διάκοσμο των ναών. Οι Πυθαγόρειοι εκτός από τις πολλές μυστικιστικές αντιλήψεις που είχαν για τα σχήματα, συσχέτιζαν την μελέτη τους και με την Αστρονομία, την οποία αποκαλούσαν Γεωμετρία σε κίνηση. Ο Πλάτωνας στην είσοδο της φιλοσοφικής του σχολής είχε μια πολύ κολακευτική για την επιστήμη της Γεωμετρίας επιγραφή, «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» που σημαίνει σε ελεύθερη απόδοση «όποιος δεν γνωρίζει γεωμετρία να μη εισέλθει». Αυτή η επιγραφή φυσικά, δεν τέθηκε ως απαγόρευση αλλά για να καταδείξει την σπουδαιότητα της γεωμετρίας ως βασική προϋπόθεση για την τέχνη της φιλοσοφίας. Όσο για την τέχνη γενικότερα, αυτή είναι η κατεξοχήν ανθρώπινη δραστηριότητα που επηρεάζεται από την γεωμετρία. Τον 20ο αιώνα μάλιστα φτάσαμε στο σημείο να δημιουργηθεί μια τεχνοτροπία στη ζωγραφική που ονομάστηκε Κυβισμός. Τόσο επαναστατική ήταν αυτή η νέα τεχνοτροπία που η ίδια και οι εκπρόσωποί της έγιναν παγκοσμίως γνωστοί. Ακόμα και όσοι από εσάς αγνοείτε τι ακριβώς είναι ο κυβισμός σίγουρα γνωρίζετε τουλάχιστον ένα εκπρόσωπο του, τον Πάμπλο Πικάσσο.

Άλλος όμως είναι ο ζωγράφος του οποίου ένα μεγάλο μέρος του έργου του είναι κυριολεκτικά μια γεωμετρική πανδαισία. Πρωτοπόρος της λεγόμενης αφηρημένης ή ανεικονικής ζωγραφικής ο Βασίλη Καντίνσκι έδωσε με τις καινοτομίες του και την νέα αντίληψη που κόμιζε για την ζωγραφική, μιαν άλλη πορεία στη τέχνη του 20ου αιώνα. Άνθρωπος με τεράστιες τεχνικές ικανότητες και βαθύτατο λυρισμό ο Καντίνσκι θεωρείται πια στις μέρες μας καλλιτεχνική μεγαλοφυΐα και ένας από τους σημαντικότερους καλλιτέχνες τις εποχής του. Ωστόσο δεν είναι μονάχα οι πίνακές του που τον καθιέρωσαν ως έναν από τους μεγάλους του περασμένου αιώνα. Στη πραγματεία του Για το Πνευματικό στην Τέχνη καταγράφονται οι θεωρίες και οι ιδέες που υποστηρίζουν την τάση του προς το αφηρημένο. Η εργασία του αυτή μαζί με κάποιες άλλες όπως τα βιβλία του Τέχνη και καλλιτέχνες και Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο τον καθιστούν ένα από τους σημαντικούς θεωρητικούς της τέχνης, δίνοντας του ακόμα μεγαλύτερη αίγλη.

Σαράντα περίπου χρόνια μετά το θάνατο του Καντίνσκι, ο Μπενουά Μάντελμπροτ ένας Γάλλος μαθηματικός, Πολωνικής καταγωγής, μας παρουσίασε κάποιους άλλους αναπάντεχους «μαθηματικούς καλλιτέχνες,» οι δημιουργίες των οποίων ξεπερνούν σε φαντασία, ευρηματικότητα αλλά και πολυπλοκότητα τα έργα πολλών απλών ζωγράφων. Στο βιβλίο Η μορφοκλασματική γεωμετρία της φύσης που εκδόθηκε το 1982 έχει συγκεντρώσει ένα πλήθος εκπληκτικών σχημάτων που δημιουργήθηκαν από ηλεκτρονικούς υπολογιστές ακολουθώντας μια πολύ απλή επαναληπτική διαδικασία. Τα σχήματα αυτά ονομάστηκαν από τον Μάντελμπροτ Fractals, στα ελληνικά Μορφοκλασματικές Δομές, και είναι κατά κάποιο τρόπο γραφικές παραστάσεις κάποιων εξισώσεων. Το βιβλίο αυτό σημείωσε τόσο μεγάλη επιτυχία που μέχρι σήμερα δεν υπάρχουν πολλά βιβλία μαθηματικών που να γνώρισαν τέτοια αποδοχή απ’ το ευρύ κοινό .

Τι είναι όμως μια Μορφοκλασματική Δομή; Καταρχάς είναι ένα σχήμα τόσο πολύπλοκο που δεν μπορεί να οριστεί με τους κανόνες και τους όρους της κλασικής ευκλείδειας γεωμετρίας. Ο ορισμός του γίνεται με βάση μιαν επαναληπτική διαδικασία και η δημιουργία του, συνήθως, με την ευεργετική συνδρομή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ένα από τα βασικότερα χαρακτηριστικά του είναι η αυτό-ομοιότητα σε διάφορες κλίμακες. Με τον όρο αυτό-ομοιότητα εννοούμε ότι με μεγέθυνση σ’ ένα οποιοδήποτε σημείο του μπορούμε να δούμε είτε ολόκληρο το ίδιο το σχήμα είτε απλά ένα μέρος του.

Τέτοια σχήματα όπως προαναφέρθηκε είναι αποτέλεσμα μίας επαναληπτικής διαδικασίας, που συνήθως είναι πολύ απλή. Δείτε για παράδειγμα την κατασκευή του τάπητα του Σιερπίνσκι, μιας από τις πρώτες μορφόκλασματικές δομές που δημιουργήθηκαν. Ο τάπητας του Σιερπίνσκι δημιουργείται αφαιρώντας διαδοχικά το μεσαίο τετράγωνο από το μεγαλύτερο τετράγωνο που ήδη υπάρχει.

Αν όμως αντικαταστήσουμε αυτή την επαναληπτική διαδικασία με μιαν άλλη και προσθέσουμε χρώματα μπορεί να προκύψουν υπέροχα σχήματα. Το σύνολο του Μάντελμπροτ που φαίνεται παρακάτω είναι ένα από αυτά. Παρατηρήσετε την αυτό – ομοιότητα που εμφανίζεται τόσο στην περιφέρεια όσο και στις λεπτομέρειες μ’ ένα κυριολεκτικά εκπληκτικό τρόπο.

Η αλήθεια όμως είναι πως οι πραγματικοί καλλιτέχνες δεν είναι ούτε οι μαθηματικοί τύποι που δημιουργούν αυτές τις γραφικές παραστάσεις ούτε βέβαια οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές με την βοήθεια των οποίων τις σχεδιάζουμε, αλλά οι άνθρωποί που αναδεικνύουν αυτά τα αριστουργήματα. Αυτοί που επιλέγουν εκτός από τους κατάλληλους τύπους και τα σωστά χρώματα, αυτοί που μας δίνουν την ευκαιρία να απολαύσουμε τέτοια ομορφιά εκεί που πραγματικά δεν το περιμένουμε!

Μερικοί Σύνδεσμοι

1. Βασίλη Kαντίνσκι στο WebMuseum

2. Μπενουά Μάντελμπροτ

3. Μορφοκλασματικές Δομές ( Fractals )

Δύο γαϊδάρων άχυρα

Υπάρχουν πολλοί τρόποι που τα μαθηματικά συνδέονται μ’ εμάς και την καθημερινότητά μας. Δεν είναι μόνο η οικονομία και η τρομερή τεχνολογική εξέλιξη, δεν είναι μόνο η λογική και οι πειραματικές επιστήμες αλλά και η ιστορία , η μυθολογία, οι ανθρωπιστικές επιστήμες καμία φορά δε και η λαογραφία. Υπάρχει μια γνωστή παροιμιώδης φράση που συχνά έλεγαν παλιότερα, όταν ήθελαν να δείξουν με πολύ καυστικό τρόπο ότι κάποιος είναι εντελώς ανίκανος. Έλεγαν « Εσύ δεν μπορείς να ξεχωρίσεις δύο γαϊδάρων άχυρα!». Άσχετο , μπορεί να σκεφτήκατε κάποιοι από εσάς, αλλά το πιθανότερο είναι πως αυτή η φράση έχει προέλθει από το παρακάτω απλό πρόβλημα αριθμητικής.

Κάποτε ένας αγράμματος γεωργός ήθελε να ταΐσει τους δυο γαϊδάρους που είχε αυτός και η οικογένεια του για τις πολλές και ποικίλες εργασίες τους. Φώναξε λοιπόν ένα από τα παιδιά του και του ζήτησε να τους μοιράσει οχτώ ( 8 ) μικρές μπάλες άχυρα με την εξής όμως εντολή. Επειδή ο ένας από τους δύο ήταν πιο κουρασμένος από τον άλλο θα έπρεπε να λάβει μία ( 1 ) μπάλα παραπάνω . Το παιδί χωρίς να σκεφτεί και πολύ έτρεξε και έδωσε στον ένα γάιδαρο τρεις ( 3 ) μπάλες και στον άλλο ,τον κουρασμένο, έδωσε πέντε ( 5 ) και γύρισε στον πατέρα του να του ανακοινώσει πως έκανε αυτό που το ζήτησε λέγοντας του συγχρόνως πόσες μπάλες έδωσε στον καθένα. Έκπληκτος ο πατέρας από το «κατόρθωμα» του παιδιού του αναφώνησε « Ίντα σε στέλνω μπρε στο σχολείο να κάμεις που εσύ δεν μπορείς να ξεχωρίσεις δυο γαϊδάρων άχυρα ! ». Το παιδί ταράχτηκε από τον λόγο του γονιού του και γύρισε τρέχοντας να διορθώσει το λάθος του. Πόσες μπάλες έπρεπε να δώσει στον κάθε γάιδαρο ;

Πριν προχωρήσω στη λύση αυτού του πολύ απλού προβλήματος αριθμητικής θέλω να επισημάνω μερικά κατά την γνώμη μου ενδιαφέροντα στοιχεία που προκύπτουν απ’ όλα τα παραπάνω. Καταρχάς, αν και δεν είμαι από τους ανθρώπους εκείνους που θεωρούν ότι τα Μαθηματικά είναι η κορωνίδα των επιστημών ή ότι χωρίς αυτά δεν μπορούμε να σταθούμε με σιγουριά και αυτοπεποίθηση και κατά συνέπεια με επιτυχία στη ζωή μας. Δεν μπορώ όμως να μην παρατηρήσω πως η αίσθηση του κόσμου που καθιέρωσε αυτή την φράση είναι ότι η ανικανότητα στην επίλυση απλών προβλημάτων αριθμητικής σημαίνει και γενικότερη ανικανότητα. Το δεύτερο που θέλω να προσέξουμε είναι η δεξιότητα που αποκτά κι ο «αγράμματος» ή σωστότερα ο Μαθηματικά απαίδευτος άνθρωπος, αν όχι να λύνει απλά μαθηματικά προβλήματα τουλάχιστον να μπορεί κρίνει την ορθότητα της λύσης τους. Αυτή ακριβώς η δεξιότητα όλων γενικά των ανθρώπων, αλλά και η επιθυμία τους να γνωρίσουν κατά κάποιο τρόπο τα μαθηματικά , με ώθησε στο να ψάξω, να βρω και να παρουσιάσω με όσο το δυνατόν απλούστερο τρόπο κάποια μαθηματικά «αξιοθέατα». Το τρίτο και ίσως σημαντικότερο πράγμα που πρέπει να προσέξουμε, και που θα μας προετοιμάσει για την λύση του προβλήματος είναι πως η βιασύνη είναι πάντα κακός σύμβουλος και ειδικά στις περιπτώσεις που η επαλήθευση ή και η διάψευση μπορεί να γίνει με πολύ εύκολο τρόπο.

Ας έρθουμε όμως τώρα στην λύση του προβλήματος. Προφανώς το παιδί το πρώτο πράγμα που έκανε ήταν να μοιράσει τα άχυρα στα δύο, τέσσερα και τέσσερα ( 4 + 4 = 8 ). Μέχρι εδώ δεν μπορεί να έχει κάνει λάθος. Στη συνέχεια όμως βιάστηκε να αφαιρέσει μία μπάλα από τον ξεκούραστο και να τη δώσει στον κουρασμένο. Έτσι ο ένας είχε τρεις (3) κι ο άλλος πέντε (5). Δεν πρόσεξε ωστόσο ότι με αυτό τον τρόπο ο κουρασμένος έχει έτσι δυο μπάλες παραπάνω ( 5 – 3 = 2 ), μια που πήρε αυτός και μια που στερήθηκε ο άλλος! Μετά λοιπόν από λίγη σκέψη κατάλαβε πως πρέπει να πάρει μισή μπάλα από τον ένα και να τη δώσει στον άλλο. Άρα η σωστή λύση είναι τεσσερισήμισι και τρεισήμισι μπάλες. Έτσι έχουμε σύνολο οχτώ ( 4,5 + 3,5 = 8 ) και ο ένας έχει μια μπάλα παραπάνω από τον άλλο ( 4,5 – 3,5 = 1 ).

Το πρόβλημα αυτό καθ’ εαυτό δεν είναι καθόλου δύσκολο, ίσως και γι’ αυτό το λόγο να έμεινε παροιμιώδης η ανικανότητα του λύτη! Υπάρχουν πλήθος παρόμοιων προβλημάτων, άλλα απλούστερα και άλλα δυσκολότερα που λύνονται με τον ίδιο πάνω κάτω τρόπο. Παραθέτω λοιπόν δύο ακόμα τέτοια προβλήματα καλή συνέχεια  …


1ο Τα λεφτά σου και τα λεφτά μου
Αν εσύ κι εγώ έχουμε τα ίδια χρήματα στο λογαριασμό μας στη τράπεζα, πόσα πρέπει να σου δώσω για να έχεις χίλια ευρώ ( 1000 €) παραπάνω ;

2ο Ο μισθός μου
Ο μηνιαίος μισθός μου, μαζί με όλα τα επιδόματα , είναι χίλια διακόσια πενήντα ευρώ ( 1250 € ) . Αν ο βασικός μου μισθός είναι επτακόσια πενήντα ευρώ ( 750 € ) παραπάνω από τα επιδόματα. Πόσος είναι ο βασικός μου μισθός και πόσα είναι τα επιδόματα ;