Ένα «συνώνυμο» της ομορφιάς.

Στο διπλανό τετράγωνο δίνονται πέντε σχήματα που συνδέονται μεταξύ τους με έναν πολύ απλό και λογικό τρόπο. Ποιό σχήμα πρέπει να βάλουμε στη θέση του ερωτηματικού για να ταιριάζει με τα υπόλοιπα σύμφωνα με τον ίδιο κανόνα;

Ο γρίφος αυτός είναι ένας από τους πιο ενδιαφέροντες που έχω συναντήσει. Είναι πολύ εντυπωσιακό το πώς αυτά τα παράξενα εκ πρώτης όψεως σύμβολα στο τέλος απλοποιούνται τόσο που ξαφνικά χάνεται ολοκληρωτικά το μυστήριο που τα περιβάλλει. Επίσης, είναι πραγματικά αξιοπρόσεκτο το πώς μερικές φορές το μυαλό δημιουργεί απίστευτες εικόνες από τα πιο απλά πράγματα. Κοιτάζοντάς τα, μπορεί κανείς χωρίς πολύ φαντασία να δει μια καρδιά και ένα λουλούδι στο δεύτερο και στο τρίτο σχήμα αντίστοιχα. Το πρώτο μοιάζει με δύο κίονες ενώ το τέταρτο με γέφυρα, το δε πέμπτο είναι σαν πρόσωπο με φουσκωμένα μάγουλα που είναι έτοιμο να φυσήξει. Είναι βλέπετε εύκολο για μας να ερμηνεύουμε με διάφορους τρόπους σχήματα και εικόνες αλλά και λόγια και γεγονότα που παρατηρούμε γύρω μας. Το δύσκολο είναι οι ερμηνείες αυτές να έχουν κάποιο νόημα και ακόμη δυσκολότερο είναι το νόημα αυτό να έχει μια οικουμενικότητα.

Η βασική ιδέα είναι πάλι μια μαθηματική σχέση, η συμμετρία. Η συμμετρία δεν είναι μια μαθηματική επινόηση άσχετη με όσα μας περιβάλουν και δεν χρειάζεται να είναι κανείς μαθηματικός για να το καταλάβει. Τι να προσέξουμε πρώτα; Ας πούμε το ουράνια σώματα, τον ήλιο και το φεγγάρι. Στα μάτια των ανθρώπων όλων των εποχών τα δύο αυτά σημαντικότατα αντικείμενα ήταν και είναι δύο τέλειοι κυκλικοί δίσκοι, απόλυτα συμμετρικοί όπως κι απ’ όπου και να τους κοιτάξεις. Έτσι από την αξία που είχαν πάντα για την ζωή μας ο ήλιος και η σελήνη δόθηκαν και στους κυκλικούς δίσκους -και κατά συνέπεια στους κύκλους- υπερφυσικές ιδιότητες. Η συμμετρία όμως δεν παρουσιάζεται μόνο στον ουρανό. Και η γη είναι γεμάτη από συμμετρίες, από τα φύλλα κάποιων φυτών μέχρι τα σώματα των περσότερων έμβιων οργανισμών στα οποία το αριστερό μέρος είναι συμμετρικό με το δεξί μέρος. Είναι μάλιστα σε τέτοιο βαθμό διαδεδομένη που μας κάνει να αναρωτιόμαστε αν είναι δυνατόν να υπάρχει ζωή χωρίς αυτήν. Με μια ακόμα πιο προσεκτική ματιά μπορούμε να βρούμε συμμετρίες και σε πιο απίθανα σημεία όπως στις κυψέλες των μελισσών, όπου εμφανίζεται με θαυμαστό τρόπο το κανονικό εξάγωνο που έχει όλες του τις πλευρές και όλες του τις γωνίες ίσες. Θα πρέπει στο σημείο αυτό όμως να τονίσουμε πως η συμμετρία στη φύση δεν ταυτίζεται με την καθαρά γεωμετρική, αφού στη φύση φαίνεται πως δεν υπάρχει η τέλεια σφαίρα ή ο τέλειος κύκλος και γενικά τίποτα δεν είναι απολύτως συμμετρικό.

Τόσο μεγάλη είναι η αξία της συμμετρίας για την ανθρωπότητα που τα περισσότερα ανθρώπινα κατασκευάσματα είναι γεμάτα συμμετρικά σχήματα όπως κύκλους, τετράγωνα, ορθογώνια παραλληλόγραμμα, ισοσκελή τρίγωνα και πολλά άλλα. Από τα αριστουργήματα της παγκόσμιας αρχιτεκτονικής μέχρι τα απλά αυτοκίνητα και από τα τους αρχαίους ιερούς βωμούς μέχρι τα σημερινά χαρτονομίσματα τα συμμετρικά γεωμετρικά σχήματα είναι παντού. Το εντυπωσιακότερο όμως είναι ότι η επιρροή της είναι αποτυπωμένη και στις πιο σπουδαίες εκφάνσεις του ανθρωπίνου πνεύματος. Πολλοί θεωρούν ότι από τον Πλάτωνα ξεκίνησε η αντίληψη πως τα μόνα γνήσια μέσα για οποιαδήποτε γεωμετρική κατασκευή είναι ο κανόνας και ο διαβήτης, διότι με αυτά μπορούμε να σχεδιάσουμε ευθείες και κύκλους που είναι γραμμές με συμμετρικές ιδιότητες και κατά συνέπεια έχουν μια τελειότητα που ταίριαζε πολύ με τις υπόλοιπες φιλοσοφικές ιδέες του. Η επιρροή της όμως στο ανθρώπινο πνεύμα δεν σταματάει στην αρχαιότητα και την σύνδεση συμμετρίας - φιλοσοφίας αλλά φτάνει και μέχρι τις μέρες μας , αφού και η σύγχρονη φυσική κάνει μια πρωτότυπη και ταυτόχρονα πολύ εντυπωσιακή ερμηνεία των δυνάμεων που υπάρχουν στην φύση όπως η βαρύτητα, ο ηλεκτρομαγνητισμός και οι πυρηνικές δυνάμεις με την βοήθεια συμμετριών. Πρωτοπόρος στην σύνδεση αυτή συμμετρίας – φυσικής ήταν η Γερμανίδα μαθηματικός Emmy Noether που το 1918 ανακάλυψε μια θεμελιώδη σχέση με την οποία διεύρυνε την μέχρι τότε αντίληψη για κάποιους φυσικούς νόμους, ανοίγοντας δρόμους που θα οδηγούσαν αργότερα σε επαναστατικές αλλαγές. Μια υπέροχη διάλεξη για τη συμμετρία στους νόμους της φυσικής είχε κάνει και ο φημισμένος Αμερικανός νομπελίστας Richard Feynman το 1964 στο πανεπιστήμιο Cornell των ΗΠΑ. Ευτυχώς για εμάς η διάλεξη αυτή έχει κινηματογραφηθεί, οπότε μπορούμε κι εμείς σήμερα 45 χρόνια μετά να την απολαμβάνουμε .Οι συμμετρίες βέβαια δεν περιορίζονται μόνο σε αυτές τις δύο πτυχές του ανθρώπινου πνεύματος. Όσο ψάχνει κανείς τα όμορφα πράγματα της ζωής μας τόσο βρίσκει κι άλλες κι άλλες κι άλλες, σε τέτοιο βαθμό μάλιστα που ίσως δεν θα ήταν υπερβολή να ταυτίσουμε όχι μόνο την συμμετρία με την ομορφιά αλλά και την ομορφιά με την συμμετρία!

Ας έρθουμε όμως τώρα και στη λύση. Ρίξετε μια πιο προσεκτική ματιά στα σύμβολα του γρίφου και θα παρατηρήσετε πως και τα πέντε έχουν κάποιο είδος συμμετρίας. Φέρνοντας μια κατακόρυφη γραμμή στο μέσο τους φαίνεται καθαρά πως το αριστερό τους μέρος είναι το συμμετρικό του δεξιού τους μέρους, είναι δηλαδή κατά κάποιο τρόπο το είδωλό τους στον καθρέφτη. Αν επιπλέον κρύψουμε το αριστερό αυτό μέρος αποκαλύπτεται η κεντρική ιδέα του γρίφου που δεν είναι άλλη από την πολύ απλή ακολουθία αριθμών

1 2 3 4 5

Έτσι το σύμβολο που λείπει προκύπτει από τον αριθμό έξι (6) και το συμμετρικό του από αριστερά. Δηλαδή …

Μερικοί Σύνδεσμοι

1. Emmy Noether ( Wikipedia )

2. Ομιλία του Feynman για την συμμετρία.

Για όποιον τα καταφέρνει σχετικά καλά με τα Μαθηματικά και τα Αγγλικά όλη η 4η ομιλία "Symmetry in Physical Law"  είναι ΕΚΠΛΗΚΤΙΚΗ !!!. Αλλά το πολύ ενδιαφέρον κατά τη γνώμη μου είναι στην 10η ενότητα (από 40:00 μέχρι 45:15)  και στη  12η ενότητα ( από 52:05 μέχρι ΤΕΛΟΣ )  

Οι καλλιτέχνες των μαθηματικών

Από την αρχή ακόμα, την εποχή δηλαδή που τέθηκαν τα πρώτα θεμέλια των μαθηματικών, η επιστήμη αυτή χωρίστηκε σε δύο μεγάλους κλάδους· την Αριθμητική και την Γεωμετρία. Η μελέτη των σχημάτων και των ιδιοτήτων τους ήταν πάντα μια προσφιλής ενασχόληση των μαθηματικών όλων των εποχών. Σε αντίθεση όμως με τον κλάδο που ασχολείται με τους αριθμούς η Γεωμετρία έχει το μεγάλο πλεονέκτημα να είναι εξίσου δημοφιλής και στους μη έχοντες ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις.

Στα μαθηματικά, το σχήμα θα παίζει πάντα πρωταγωνιστικό ρόλο. Από τα πιο απλά όπως το τρίγωνο, η σφαίρα και ο μαίανδρος μέχρι και τα πιο πολύπλοκα, τα γεωμετρικά σχήματα ασκούν μια παράξενη γοητεία στο ανθρώπινο πνεύμα. Δεν είναι λοιπόν παράξενο που από την αρχαιότητα η μελέτη της γεωμετρίας συνδέθηκε με όλες σχεδόν τις εκδηλώσεις του ανθρώπινου πολιτισμού. Οι πυραμίδες για παράδειγμα πολύ συχνά χρησιμοποιηθήκαν ως θρησκευτικοί χώροι και πολλά σχήματα όπως ο μαίανδρος που προαναφέρθηκε, χρησιμοποιήθηκαν για τον διάκοσμο των ναών. Οι Πυθαγόρειοι εκτός από τις πολλές μυστικιστικές αντιλήψεις που είχαν για τα σχήματα, συσχέτιζαν την μελέτη τους και με την Αστρονομία, την οποία αποκαλούσαν Γεωμετρία σε κίνηση. Ο Πλάτωνας στην είσοδο της φιλοσοφικής του σχολής είχε μια πολύ κολακευτική για την επιστήμη της Γεωμετρίας επιγραφή, «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» που σημαίνει σε ελεύθερη απόδοση «όποιος δεν γνωρίζει γεωμετρία να μη εισέλθει». Αυτή η επιγραφή φυσικά, δεν τέθηκε ως απαγόρευση αλλά για να καταδείξει την σπουδαιότητα της γεωμετρίας ως βασική προϋπόθεση για την τέχνη της φιλοσοφίας. Όσο για την τέχνη γενικότερα, αυτή είναι η κατεξοχήν ανθρώπινη δραστηριότητα που επηρεάζεται από την γεωμετρία. Τον 20ο αιώνα μάλιστα φτάσαμε στο σημείο να δημιουργηθεί μια τεχνοτροπία στη ζωγραφική που ονομάστηκε Κυβισμός. Τόσο επαναστατική ήταν αυτή η νέα τεχνοτροπία που η ίδια και οι εκπρόσωποί της έγιναν παγκοσμίως γνωστοί. Ακόμα και όσοι από εσάς αγνοείτε τι ακριβώς είναι ο κυβισμός σίγουρα γνωρίζετε τουλάχιστον ένα εκπρόσωπο του, τον Πάμπλο Πικάσσο.

Άλλος όμως είναι ο ζωγράφος του οποίου ένα μεγάλο μέρος του έργου του είναι κυριολεκτικά μια γεωμετρική πανδαισία. Πρωτοπόρος της λεγόμενης αφηρημένης ή ανεικονικής ζωγραφικής ο Βασίλη Καντίνσκι έδωσε με τις καινοτομίες του και την νέα αντίληψη που κόμιζε για την ζωγραφική, μιαν άλλη πορεία στη τέχνη του 20ου αιώνα. Άνθρωπος με τεράστιες τεχνικές ικανότητες και βαθύτατο λυρισμό ο Καντίνσκι θεωρείται πια στις μέρες μας καλλιτεχνική μεγαλοφυΐα και ένας από τους σημαντικότερους καλλιτέχνες τις εποχής του. Ωστόσο δεν είναι μονάχα οι πίνακές του που τον καθιέρωσαν ως έναν από τους μεγάλους του περασμένου αιώνα. Στη πραγματεία του Για το Πνευματικό στην Τέχνη καταγράφονται οι θεωρίες και οι ιδέες που υποστηρίζουν την τάση του προς το αφηρημένο. Η εργασία του αυτή μαζί με κάποιες άλλες όπως τα βιβλία του Τέχνη και καλλιτέχνες και Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο τον καθιστούν ένα από τους σημαντικούς θεωρητικούς της τέχνης, δίνοντας του ακόμα μεγαλύτερη αίγλη.

Σαράντα περίπου χρόνια μετά το θάνατο του Καντίνσκι, ο Μπενουά Μάντελμπροτ ένας Γάλλος μαθηματικός, Πολωνικής καταγωγής, μας παρουσίασε κάποιους άλλους αναπάντεχους «μαθηματικούς καλλιτέχνες,» οι δημιουργίες των οποίων ξεπερνούν σε φαντασία, ευρηματικότητα αλλά και πολυπλοκότητα τα έργα πολλών απλών ζωγράφων. Στο βιβλίο Η μορφοκλασματική γεωμετρία της φύσης που εκδόθηκε το 1982 έχει συγκεντρώσει ένα πλήθος εκπληκτικών σχημάτων που δημιουργήθηκαν από ηλεκτρονικούς υπολογιστές ακολουθώντας μια πολύ απλή επαναληπτική διαδικασία. Τα σχήματα αυτά ονομάστηκαν από τον Μάντελμπροτ Fractals, στα ελληνικά Μορφοκλασματικές Δομές, και είναι κατά κάποιο τρόπο γραφικές παραστάσεις κάποιων εξισώσεων. Το βιβλίο αυτό σημείωσε τόσο μεγάλη επιτυχία που μέχρι σήμερα δεν υπάρχουν πολλά βιβλία μαθηματικών που να γνώρισαν τέτοια αποδοχή απ’ το ευρύ κοινό .

Τι είναι όμως μια Μορφοκλασματική Δομή; Καταρχάς είναι ένα σχήμα τόσο πολύπλοκο που δεν μπορεί να οριστεί με τους κανόνες και τους όρους της κλασικής ευκλείδειας γεωμετρίας. Ο ορισμός του γίνεται με βάση μιαν επαναληπτική διαδικασία και η δημιουργία του, συνήθως, με την ευεργετική συνδρομή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ένα από τα βασικότερα χαρακτηριστικά του είναι η αυτό-ομοιότητα σε διάφορες κλίμακες. Με τον όρο αυτό-ομοιότητα εννοούμε ότι με μεγέθυνση σ’ ένα οποιοδήποτε σημείο του μπορούμε να δούμε είτε ολόκληρο το ίδιο το σχήμα είτε απλά ένα μέρος του.

Τέτοια σχήματα όπως προαναφέρθηκε είναι αποτέλεσμα μίας επαναληπτικής διαδικασίας, που συνήθως είναι πολύ απλή. Δείτε για παράδειγμα την κατασκευή του τάπητα του Σιερπίνσκι, μιας από τις πρώτες μορφόκλασματικές δομές που δημιουργήθηκαν. Ο τάπητας του Σιερπίνσκι δημιουργείται αφαιρώντας διαδοχικά το μεσαίο τετράγωνο από το μεγαλύτερο τετράγωνο που ήδη υπάρχει.

Αν όμως αντικαταστήσουμε αυτή την επαναληπτική διαδικασία με μιαν άλλη και προσθέσουμε χρώματα μπορεί να προκύψουν υπέροχα σχήματα. Το σύνολο του Μάντελμπροτ που φαίνεται παρακάτω είναι ένα από αυτά. Παρατηρήσετε την αυτό – ομοιότητα που εμφανίζεται τόσο στην περιφέρεια όσο και στις λεπτομέρειες μ’ ένα κυριολεκτικά εκπληκτικό τρόπο.

Η αλήθεια όμως είναι πως οι πραγματικοί καλλιτέχνες δεν είναι ούτε οι μαθηματικοί τύποι που δημιουργούν αυτές τις γραφικές παραστάσεις ούτε βέβαια οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές με την βοήθεια των οποίων τις σχεδιάζουμε, αλλά οι άνθρωποί που αναδεικνύουν αυτά τα αριστουργήματα. Αυτοί που επιλέγουν εκτός από τους κατάλληλους τύπους και τα σωστά χρώματα, αυτοί που μας δίνουν την ευκαιρία να απολαύσουμε τέτοια ομορφιά εκεί που πραγματικά δεν το περιμένουμε!

Μερικοί Σύνδεσμοι

1. Βασίλη Kαντίνσκι στο WebMuseum

2. Μπενουά Μάντελμπροτ

3. Μορφοκλασματικές Δομές ( Fractals )