Αναζήτηση αυτού του ιστολογίου

Παρασκευή, 18 Φεβρουαρίου 2011

Ανέμελοι περίπατοι ;

Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η κάτοψη ενός καταστήματος ρούχων στο οποίο υπάρχουν 4 αίθουσες και 9 διάδρομοι που τις συνδέουν. Είναι δυνατόν ένας πελάτης να ξεκινήσει από την αίθουσα εισόδου να δει τις δύο αίθουσες ρούχων και να καταλήξει στην αίθουσα εξόδου περνώντας από όλους τους διαδρόμους ( 1 έως 9 )  μόνο μια φορά ;


  Εμείς οι μαθηματικοί έχουμε την ιδιοτροπία να μετατρέπουμε και τα πιο απλά καθημερινά γεγονότα σε μαθηματικά προβλήματα. Όπως φαίνεται παραπάνω, ακόμα και το χάζεμα στα ράφια ενός καταστήματος γίνεται αφορμή για προβληματισμό, και δεν εννοώ μόνο ως προς τις τιμές!
 Πριν ξεκινήσουμε την αναζήτηση της λύσης είναι απαραίτητο να δούμε και να καταλάβουμε μια σημαντική μαθηματική έννοια που θα μας φανεί πολύ χρήσιμη στη πορεία. Στα μαθηματικά, «αναλλοίωτα» ενός προβλήματος ονομάζονται τα μεγέθη ή οι ιδιότητες εκείνες που δεν μεταβάλλονται ακόμα κι όταν μεταβληθούν άλλα μεγέθη που σχετίζονται με το πρόβλημα και επηρεάζουν τη λύση του. Τέτοιου είδους μεγέθη εμφανίζονται συχνά σε προβλήματα πολλών θετικών επιστημών. Στη Χημεία, για παράδειγμα, παραμένουν σταθερές οι συνολικές ποσότητες ενός στοιχείου σε μια χημική αντίδραση, παρά το γεγονός πως αλλάζουν οι δεσμοί τους με τα υπόλοιπα στοιχεία. Αυτό φαίνεται καθαρά στην εξίσωση της χημικής αντίδρασης όπου οι συντελεστές του δεύτερου μέλους μεταβάλλονται με τρόπο ώστε οι ποσότητες παραμένουν αμετάβλητες. Προσέξετε στην παρακάτω αντίδραση πως στο 1ο  μέλος της  συμμετέχουν 6 άτομα (Η) Υδρογόνου [ C2H6O ]αλλά και στο 2ο μέλος της πάλι 6 άτομα έχουμε [2O  3·2=6].
C2H6O + 6CuO → 2CO2 + 3H2O + 6Cu
Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και με τα υπόλοιπα στοιχεία που συμμετέχουν σε αυτή τη χημική αντίδραση.
C2H6O + 6CuO
2CO2 + 3H2O + 6Cu
Υδρογόνο   ( Η )
  C2H6O   ( 6 )
2O     ( 3·2=6 )
Οξυγόνο     ( Ο )
C2H6O + 6CuO 
( 1+6·1 = 7 )
2CO2 + 3H2O
(2·2 +3·1 = 7 )
Άνθρακας   ( C )
C2H6O   ( 2 )
2CO2  ( 2·1= 2 )
Χαλκός     ( Cu )
6CuO  ( 6·1 = 6 )
6Cu   ( 6·1 = 6 )
Έτσι γίνεται φανερό πως για να υπολογίσουμε τους συντελεστές  των στοιχείων που παράγονται σε μια χημική αντίδραση πρέπει να λάβουμε υπόψη το γεγονός πως κάποιες ποσότητες παραμένουν αναλλοίωτες.
   Ας επανέλθουμε όμως τώρα στα μαθηματικά. Σε τι μπορεί να χρησιμεύσει ένα αναλλοίωτο; Καταρχάς είναι σημαντικό να καταλάβουμε πως εντοπίζοντας κάποιο αναλλοίωτο  έχουμε κάνει ένα σοβαρό βήμα για την επίλυση του προβλήματος. Τα αναλλοίωτα μας δίνουν συνήθως πληροφορίες που έχουν να κάνουν με τις ιδιαιτερότητες του προβλήματος και οι οποίες είναι απαραίτητες  για τη λύση του. Ως παράδειγμα στα παραπάνω θα προχωρήσουμε στη λύση το προβλήματος με το κατάστημα ρούχων που τέθηκε στην αρχή.
  Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί αποτελεσματικά αν κάνουμε μια απλή σκέψη, η οποία θα αποκαλύψει  ένα  καλά κρυμμένο αναλλοίωτο. Αρκεί να σκεφτούμε πως όσες φορές θα μπούμε σε μια αίθουσα μέσω ενός διαδρόμου τόσες φορές θα βγούμε από αυτή μέσω ενός διαδρόμου ( ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟ ).
  

Να  προσέξουμε όμως πως αυτό δεν ισχύει για την Αίθουσα Εισόδου στην οποία μπαίνουμε χωρίς διάδρομο και την Αίθουσα Εξόδου από την οποία βγαίνουμε στο τέλος χωρίς διάδρομο. Γι’ αυτό από εδώ και πέρα θα αναφερόμαστε μόνο στις ενδιάμεσες αίθουσες.
   Και πώς μας είναι χρήσιμο αυτό το αναλλοίωτο  «όσες φορές μπαίνουμε τόσες φορές βγαίνουμε»; Αν θέλουμε  να περάσουμε από κάθε διάδρομο μία μόνο φορά είναι φανερό πως οι ενδιάμεσες αίθουσες  θα πρέπει να συνδέονται μεταξύ τους με ζυγό πλήθος διαδρόμων, ώστε οι μισοί να χρησιμεύουν ως ΕΙΣΟΔΟΙ και οι άλλοι μισοί ως ΕΞΟΔΟΙ , όπως μας υποδεικνύει το αναλλοίωτο μας.

 Για παράδειγμα αν έχουμε τρεις αίθουσες Α, Β, Γ όπως στο διπλανό σχήμα και  θέλουμε να πάμε από την αίθουσα Α στην αίθουσα Γ  με ενδιάμεση  αίθουσα τη Β, αναγκαστικά περνάμε από τον διάδρομο (1) δύο φορές.


 
Αν όμως είχαμε μιαν άλλη διάταξη δεν θα χρειαζόταν να περάσουμε δύο φορές από τον ίδιο διάδρομο. Παρατηρήσετε πως η ενδιάμεση αίθουσα Β έχει εδώ  σύνδεση με δύο διαδρόμους  (1) και (3)  ή  (1) και (2) , ενώ στη προηγούμενη περίπτωση μόνο με ένα .








   Εφαρμόζοντας τον παραπάνω τρόπο  σκέψης στο πρόβλημα με το κατάστημα ρούχων, συμπεραίνουμε ότι για να μπορέσουμε να περάσουμε από κάθε διάδρομο μία μόνο φορά, είναι απαραίτητο οι δύο ενδιάμεσες αίθουσες ( ΑΝΔΡΙΚΑ ΡΟΥΧΑ – ΓΥΝΑΙΚΕΙΑ ΡΟΥΧΑ )  να έχουν ζυγό αριθμό διαδρόμων που να συνδέονται  με αυτές. Παρατηρώντας όμως το σχέδιο βλέπουμε πως έχουν μονό αριθμό διαδρόμων, πέντε η κάθε μία τους.

ΑΝΔΡΙΚΑ ΡΟΥΧΑ (1),(2),(5),(6),(7) και ΓΥΝΑΙΚΕΙΑ ΡΟΥΧΑ (3),(4),(5),(8),(9)

Οπότε συμπεραίνουμε πως είναι αδύνατον να δούμε όλες τις αίθουσες περνώντας μία μόνο φορά από κάθε διάδρομο.

  Το πρόβλημα αυτό είναι μια παραλλαγή ενός γνωστού μαθηματικού γρίφου του 18ου αιώνα που λέγεται « Οι επτά γέφυρες του Königsberg » . Η λύση του γρίφου ήρθε από το διάσημο Ελβετό μαθηματικό Leonard Euler με την βοήθεια κάποιων απλοποιημένων γραφημάτων και πολύ αργότερα καταγράφτηκε στην Ιστορία των Μαθηματικών ως  το πρώτο θεώρημα της Θεωρίας Γραφημάτων. Ο τρόπος με τον οποίο  αντιμετώπισε ο Euler το πρόβλημα, θεωρήθηκε  εξαιρετικά σημαντικός αφού ήταν ένας προάγγελος της ανάπτυξης της Τοπολογίας. Κάποια άλλη στιγμή μπορεί να δοθεί η ευκαιρία να πούμε μερικά πράγματα παραπάνω για τον πολύ σπουδαίου αυτό κλάδο των Μαθηματικών.
 Την εποχή που ζούσε ο Euler ένας περίπατος στις Επτά γέφυρες του Königsberg, ίσως ήταν ένας όμορφος τρόπος χαλάρωσης.  Έχω όμως την αίσθηση πως στις μέρες μας οι δαιδαλώδεις διάδρομοι που έχουν  πολλά καταστήματα δεν έχουν γίνει για να μας χαλαρώνουν ή δεν έχούν γίνει  μόνον για να μας χαλαρώνουν. Πιθανότατα οι σύγχρονοι αυτοί λαβύρινθοι έχουν σχεδιαστεί για να μας αναγκάζουν να κάνουμε κύκλους για πολύ ώρα, χωρίς να καταλαβαίνουμε από πού έχουμε περάσει και από πού δεν έχουμε περάσει. Όσο περισσότερο όμως τριγυρνάμε μέσα στα προϊόντα τόσο  γινόμαστε πιο ευάλωτοι και  στις δικές μας καταναλωτικές  αδυναμίες αλλά κυρίως  στα δικά τους διαφημιστικά κόλπα. Ίσως αν κάποιος είναι υποψιασμένος σχετικά μα αυτά τα τεχνάσματα να αποφύγει μερικές παγίδες. Ελπίζω μόνο να μην έγινα αφορμή να μετράτε τους διαδρόμους των καταστημάτων για να βρείτε αν υπάρχει τρόπος να περάσετε μια μόνο φορά από τον καθένα τους !  

1 σχόλιο:

  1. Ισως σε ενδιαφέρει Προσλήψεις καθηγητών http://www.facebook.com/group.php?gid=55684733309&v=info

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Δημοφιλείς αναρτήσεις

Μια ομορφιά