Αναζήτηση αυτού του ιστολογίου

Τρίτη, 1 Δεκεμβρίου 2009

Δύο γαϊδάρων άχυρα

Υπάρχουν πολλοί τρόποι που τα μαθηματικά συνδέονται μ’ εμάς και την καθημερινότητά μας. Δεν είναι μόνο η οικονομία και η τρομερή τεχνολογική εξέλιξη, δεν είναι μόνο η λογική και οι πειραματικές επιστήμες αλλά και η ιστορία , η μυθολογία, οι ανθρωπιστικές επιστήμες καμία φορά δε και η λαογραφία. Υπάρχει μια γνωστή παροιμιώδης φράση που συχνά έλεγαν παλιότερα, όταν ήθελαν να δείξουν με πολύ καυστικό τρόπο ότι κάποιος είναι εντελώς ανίκανος. Έλεγαν « Εσύ δεν μπορείς να ξεχωρίσεις δύο γαϊδάρων άχυρα!». Άσχετο , μπορεί να σκεφτήκατε κάποιοι από εσάς, αλλά το πιθανότερο είναι πως αυτή η φράση έχει προέλθει από το παρακάτω απλό πρόβλημα αριθμητικής.

Κάποτε ένας αγράμματος γεωργός ήθελε να ταΐσει τους δυο γαϊδάρους που είχε αυτός και η οικογένεια του για τις πολλές και ποικίλες εργασίες τους. Φώναξε λοιπόν ένα από τα παιδιά του και του ζήτησε να τους μοιράσει οχτώ ( 8 ) μικρές μπάλες άχυρα με την εξής όμως εντολή. Επειδή ο ένας από τους δύο ήταν πιο κουρασμένος από τον άλλο θα έπρεπε να λάβει μία ( 1 ) μπάλα παραπάνω . Το παιδί χωρίς να σκεφτεί και πολύ έτρεξε και έδωσε στον ένα γάιδαρο τρεις ( 3 ) μπάλες και στον άλλο ,τον κουρασμένο, έδωσε πέντε ( 5 ) και γύρισε στον πατέρα του να του ανακοινώσει πως έκανε αυτό που το ζήτησε λέγοντας του συγχρόνως πόσες μπάλες έδωσε στον καθένα. Έκπληκτος ο πατέρας από το «κατόρθωμα» του παιδιού του αναφώνησε « Ίντα σε στέλνω μπρε στο σχολείο να κάμεις που εσύ δεν μπορείς να ξεχωρίσεις δυο γαϊδάρων άχυρα ! ». Το παιδί ταράχτηκε από τον λόγο του γονιού του και γύρισε τρέχοντας να διορθώσει το λάθος του. Πόσες μπάλες έπρεπε να δώσει στον κάθε γάιδαρο ;

Πριν προχωρήσω στη λύση αυτού του πολύ απλού προβλήματος αριθμητικής θέλω να επισημάνω μερικά κατά την γνώμη μου ενδιαφέροντα στοιχεία που προκύπτουν απ’ όλα τα παραπάνω. Καταρχάς, αν και δεν είμαι από τους ανθρώπους εκείνους που θεωρούν ότι τα Μαθηματικά είναι η κορωνίδα των επιστημών ή ότι χωρίς αυτά δεν μπορούμε να σταθούμε με σιγουριά και αυτοπεποίθηση και κατά συνέπεια με επιτυχία στη ζωή μας. Δεν μπορώ όμως να μην παρατηρήσω πως η αίσθηση του κόσμου που καθιέρωσε αυτή την φράση είναι ότι η ανικανότητα στην επίλυση απλών προβλημάτων αριθμητικής σημαίνει και γενικότερη ανικανότητα. Το δεύτερο που θέλω να προσέξουμε είναι η δεξιότητα που αποκτά κι ο «αγράμματος» ή σωστότερα ο Μαθηματικά απαίδευτος άνθρωπος, αν όχι να λύνει απλά μαθηματικά προβλήματα τουλάχιστον να μπορεί κρίνει την ορθότητα της λύσης τους. Αυτή ακριβώς η δεξιότητα όλων γενικά των ανθρώπων, αλλά και η επιθυμία τους να γνωρίσουν κατά κάποιο τρόπο τα μαθηματικά , με ώθησε στο να ψάξω, να βρω και να παρουσιάσω με όσο το δυνατόν απλούστερο τρόπο κάποια μαθηματικά «αξιοθέατα». Το τρίτο και ίσως σημαντικότερο πράγμα που πρέπει να προσέξουμε, και που θα μας προετοιμάσει για την λύση του προβλήματος είναι πως η βιασύνη είναι πάντα κακός σύμβουλος και ειδικά στις περιπτώσεις που η επαλήθευση ή και η διάψευση μπορεί να γίνει με πολύ εύκολο τρόπο.

Ας έρθουμε όμως τώρα στην λύση του προβλήματος. Προφανώς το παιδί το πρώτο πράγμα που έκανε ήταν να μοιράσει τα άχυρα στα δύο, τέσσερα και τέσσερα ( 4 + 4 = 8 ). Μέχρι εδώ δεν μπορεί να έχει κάνει λάθος. Στη συνέχεια όμως βιάστηκε να αφαιρέσει μία μπάλα από τον ξεκούραστο και να τη δώσει στον κουρασμένο. Έτσι ο ένας είχε τρεις (3) κι ο άλλος πέντε (5). Δεν πρόσεξε ωστόσο ότι με αυτό τον τρόπο ο κουρασμένος έχει έτσι δυο μπάλες παραπάνω ( 5 – 3 = 2 ), μια που πήρε αυτός και μια που στερήθηκε ο άλλος! Μετά λοιπόν από λίγη σκέψη κατάλαβε πως πρέπει να πάρει μισή μπάλα από τον ένα και να τη δώσει στον άλλο. Άρα η σωστή λύση είναι τεσσερισήμισι και τρεισήμισι μπάλες. Έτσι έχουμε σύνολο οχτώ ( 4,5 + 3,5 = 8 ) και ο ένας έχει μια μπάλα παραπάνω από τον άλλο ( 4,5 – 3,5 = 1 ).

Το πρόβλημα αυτό καθ’ εαυτό δεν είναι καθόλου δύσκολο, ίσως και γι’ αυτό το λόγο να έμεινε παροιμιώδης η ανικανότητα του λύτη! Υπάρχουν πλήθος παρόμοιων προβλημάτων, άλλα απλούστερα και άλλα δυσκολότερα που λύνονται με τον ίδιο πάνω κάτω τρόπο. Παραθέτω λοιπόν δύο ακόμα τέτοια προβλήματα καλή συνέχεια  …


1ο Τα λεφτά σου και τα λεφτά μου
Αν εσύ κι εγώ έχουμε τα ίδια χρήματα στο λογαριασμό μας στη τράπεζα, πόσα πρέπει να σου δώσω για να έχεις χίλια ευρώ ( 1000 €) παραπάνω ;

2ο Ο μισθός μου
Ο μηνιαίος μισθός μου, μαζί με όλα τα επιδόματα , είναι χίλια διακόσια πενήντα ευρώ ( 1250 € ) . Αν ο βασικός μου μισθός είναι επτακόσια πενήντα ευρώ ( 750 € ) παραπάνω από τα επιδόματα. Πόσος είναι ο βασικός μου μισθός και πόσα είναι τα επιδόματα ;

5 σχόλια:

  1. Αγαπητε Παντελη,
    Πρωτα απο ολα συγχαρητηρια για τη σελιδα σου.
    Το θεμα που θετεις παραπανω σηκωνει μεγαλης συζητησης (μαλλον μπορει να συζητηθει διεξοδικα οταν θα τα πουμε για καφε).

    Ετσι για να δημιουργησω περισσοτερη συζητηση θα ηθελα να θεσω τσ παρακατω θεματα για συζητηση/ερωτησεις...

    α) ειναι σωστος ο συλλογισμος οτι "το πιθανοτερο ειναι πως αυτη η φραση εχει προελθει..." Πως φτανουμε στο συμπερασμα πως αυτο ειναι το πιθανοτερο? Πως μπορουμε να αποδειξουμε οτι το ανέκδοτο προήλθε απο αυτη τη φραση? Μάλλον και εδω η βιασύνη σου να βγάλεις συμπερασματα ειναι κακος σύμβουλος, το οποιο ομως επαληθευει το αποτελεσμα του παραπανω κειμενου...¨)

    β) Ακούγεται λογικο οτι οποιος δεν μαθαινει μαθηματικα (γενικοτερα δεν μαθαινει να λύνει καθε τυπου προβληματα). Μια απο τις εξηγησεις που καποιος μπορει να δωσει εδω ειναι οτι η κοινωνια μας ειναι χτισμενη και δομημενη να ευνοει τετοια μονοπατια σκεψης επειδη πιστευουμε οτι η εξελιξη του ειδους μας στηεριζεται σε αυτο το μοντελο. Αυτο δεν ειναι βεβαια απαραιτητα σωστο αλλα ουτε και λαθος.!
    Αρα εδω τιθεται το ερωτημα...πως ξερουμε η πως μπορουμε να καταλαβουμε ποιος μηχανισμος ειναι ο σωστοτερος και αν η συμβουλη να σκεφτομαστε λογικα ειναι η ιδανικη? Με τι κριτηρια λοιπον βγαζουμε το συμπερασμα ποιος ειναι ανικανος ?Στο τελος της ημερας...εχει αυτο το δειλλημα νοημα?

    γ) Το τριτο και τελευταιο που θα ηθελα να θεσω προς συζητηση ειναι η απορια πως το μυαλο μας μας ωθει προς την αποκτηση λογικων δεξιοτητων. Ειναι αυτο επικτητο η γενιομαστε με αυτη την λειτουργια? Αν ομως γεννιομαστε κουβαλωντας μια τετοια λειτουργια ειναι αυτο προς οφελος του ανθρςπινου πολιτισμου? Ας θυμηθουμε οτι οι πιο καταστροφικοι πολεμοι αυτου του κοσμου συνεβηκαν μετα απολυτα λογικη σκεψη που ενα επιτελειο ανθρωπων πιστεψαν και ακολουθησαν.

    Τελικα μηπως η ικανοτητα να παρουμε ισορροπημενες αποφασεις μεταξυ λογικης και μη ειναι ο ιδανικοτεροσ μηχανισμος σκεψης?

    Αντωνης

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  2. Παντελή μου, να εκφράσω κατ'αρχάς την απέραντη χαρά μου γι'αυτό το μπλογκ (πραγματικά ένας τ(ρ)όπος συνάντησης φίλων που ζουν μακριά)! Καλή αρχή και ακόμα καλύτερη συνέχεια.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  3. Σας ευχαριστώ πολύ για τις ευχές σας κι ελπίζω να μας δοθούν πολλές ευκαιρίες και αφορμές για ωραίες συζητήσεις. Όλα σας τα σχόλια τα λαμβάνω υπ όψιν.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  4. Φίλε Αντώνη

    οι παρατηρήσεις σου είναι πολύ εύστοχες όπως πάντα. Αυτή τη φορά θα απαντήσω σε κάθε μία ξεχωριστά γιατί έτσι τις έθεσες ,αλλά τις άλλες φορές μάλλον θα απαντώ συγκεντρωτικά!!!

    α) Ο σκοπός φίλε δεν είναι να αποδείξω ότι η φράση προήλθε από ένα τέτοιο γεγονός , αφού αυτό είναι πρακτικά αδύνατον, αλλά να να συνδέσω με ένα ενδιαφέρον τρόπο τα μαθηματικά και την μαθηματική εκπαίδευση με τη ζωή όλων των ανθρώπων.

    β) Εδώ σε έχασα λίγο! Δεν θεωρώ πώς όποιος δεν ξέρει μαθηματικά δεν μπορεί να σκέφτεται και σωστά ( αυτό ελπίζω να γίνεται ξεκάθαρο εξ αρχής ) απλά αναφέρω την μεγάλη εκτίμηση, το διαπιστώνω και ο ίδιος, που τρέφει η κοινωνία μας για τα μαθηματικά...

    γ) Αυτό το τρίτο είναι και το ωραιότερο. Στη φάση που είμαι τώρα και έτσι που σκέφτομαι τα πράγματα θεωρώ πως μάλλον η λογική από μόνη της δεν φτάνει αλλά είμαι βέβαιος πως δεν γίνεται και χωρίς αυτήν.

    ΑπάντησηΔιαγραφή
  5. Παντελη,

    Επισυναπτω την νεα προσεγγιση του αριθμου π.

    Σχεδόν 2,7 τρισεκατομμύρια ψηφία της διάσημης μαθηματικής σταθεράς «π» υπολόγισε ο επιστήμονας Φαμπρίς Μπέλαρντ, κάπου 123 δισεκατομμύρια περισσότερα ψηφία σε σχέση με το προηγούμενο ρεκόρ.

    Ο Μπελάρντ, χρησιμοποιώντας έναν απλό υπολογιστή κάθισε 131 ημέρες, ενώ για να αποθηκεύσει το αποτέλεσμα χρειάστηκε 1 ΤΒ σκληρό δίσκο!

    Τα προηγούμενα ψηφία-ρεκόρ του «π» είχαν βρεθεί με τη βοήθεια τεράστιων υπερ-υπολογιστών, όμως ο Μπελάρντ υποστηρίζει ότι η δική του μέθοδος υπολογισμού είναι 20 φορές πιο αποτελεσματική.

    Το προηγούμενο ρεκόρ με περίπου 2,6 τρισ. ψηφία κατείχε, από τον Αύγουστο του 2009, ο Νταϊσούκε Τακαχάσι του πανεπιστημίου Τσουκούμπα της Ιαπωνίας και του είχε πάρει 29 ώρες, αλλά με την υποστήριξη ενός σούπερ-κομπιούτερ 2.000 φορές πιο γρήγορου και χιλιάδες φορές πιο ακριβού από τον κοινό υπολογιστή που χρησιμοποίησε ο Μπελάρντ.

    Εκτιμάται ότι αν χρειάζεται περίπου ένα δευτερόλεπτο για να εκφωνηθεί ένας αριθμός, η πλήρης απαρίθμηση φωναχτά όλων των ψηφίων του «π» θα απαιτούσε πάνω από 49.000 χρόνια!

    Ο Μπελάρντ δήλωσε ότι διάβασε το πρώτο του βιβλίο του για τον αριθμό «π» όταν ήταν 14 ετών και έκτοτε παρακολουθούσε ανελλιπώς τις προσπάθειες υπολογισμού όλο και περισσότερων ψηφίων του. Όπως είπε, τον ενδιαφέρει ιδιαίτερα η πρακτική πλευρά του ζητήματος, καθώς ορισμένοι από τους αλγόριθμους που απαιτούνται για τον υπολογισμό του «π», είναι χρήσιμοι για άλλα πράγματα στους υπολογιστές.

    Όπως ανέφερε, σχεδιάζει να δημοσιοποιήσει μια έκδοση του προγράμματος που χρησιμοποίησε για τον υπολογισμό του «π», ενώ δεν απέκλεισε να επιμείνει για την ανακάλυψη και άλλων ψηφίων στο μέλλον.

    Αντωνης

    ΑπάντησηΔιαγραφή

Δημοφιλείς αναρτήσεις

Μια ομορφιά