Αναζήτηση αυτού του ιστολογίου

Τετάρτη, 30 Δεκεμβρίου 2009

Η βαλίτσα με τα εκατομμύρια





Θυμάμαι πριν μερικά χρόνια να ακούω σε μια διπλανή παρέα κάποιον να λέει με πολύ παραστατικό τρόπο πως η πιθανότητα να κερδίσεις στο Τζόκερ είναι ίδια με την πιθανότητα να βγεις από το σπίτι σου και να σκοντάψεις σε μια βαλίτσα με εκατομμύρια. Η αλήθεια είναι πως αυτή η κουβέντα μου έκανε τρομερή εντύπωση, γι’ αυτό και δεν την έχω ακόμη ξεχάσει, αλλά δεν πολυκατάλαβα πώς ακριβώς το εννοούσε. Ήθελε να πει πως αν είσαι τυχερός δεν χρειάζεται να παίζεις τέτοια παιχνίδια γιατί έτσι κι αλλιώς θα πέσεις πάνω σε εκατομμύρια ή απλώς ότι είναι σχεδόν αδύνατον να κερδίσεις; Ίσως τελικά να μην έχει και τόση σημασία τι από τα δύο εννοούσε ο άγνωστος αυτός «φιλόσοφος», αφού πάρα πολλοί άνθρωποι εναποθέτουν τις ελπίδες τους για μια καλύτερη ζωή σε τέτοια τυχερά παιχνίδια. Καλό είναι όμως όταν παίζεις ένα παιχνίδι να ξέρεις και τους κανόνες του αλλά και ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσεις. Σε καμία περίπτωση δεν θα συμβούλευα κάποιον ούτε να παίζει ούτε να μην παίζει, απλώς θέλω να προσπαθήσω να δείξω όσο γίνεται πιο απλά (αυτό κι αν είναι αδύνατον) πώς ακριβώς έχουν τα πράγματα.





Ο σκοπός μας είναι να βρούμε την πιθανότητα να κερδίσουμε παίζοντας μία στήλη και από εκεί και πέρα μπορούμε στη συνέχεια να βρούμε την πιθανότητα και για περισσότερες. Αρχικά πρέπει να υπολογίσουμε πόσες διαφορετικές στήλες μπορούν να προκύψουν από μια κλήρωση και αυτό θα το κάνουμε με την χρήση ενός και μόνο κανόνα. Ο κανόνας αυτός είναι η Βασική Αρχή Απαρίθμησης .Η Αρχή αυτή λέει πως αν μια διαδικασία ολοκληρώνεται σε ξεχωριστές φάσεις και η κάθε φάση γίνεται μ’ ένα πλήθος διαφορετικών τρόπων τότε η συνολική διαδικασία γίνεται τελικά με το γινόμενο των τρόπων των επί μέρους φάσεων. («Τι είναι αυτά που γράφεις βρε τρελέ!» … αυτή είναι η φωνή της συνείδησής μου αλλά μην πανικοβάλλεστε δεν είναι τόσο πολύπλοκο.) Για παράδειγμα αν ένα ζευγάρι σκέφτεται να κάνει τρία παιδιά πόσοι συνδυασμοί μπορούν να προκύψουν; Η όλη διαδικασία γίνεται σε τρεις φάσεις ( γέννες ) και η κάθε μια έχει δύο διαφορετικά αποτελέσματα ( Αγόρι ή Κορίτσι ), άρα οι συνολικοί συνδυασμοί που μπορεί να προκύψουν είναι 2•2•2 = 8 .



Κάτι παρόμοιο συμβαίνει και με το Τζόκερ μόνο που γίνεται σε δύο φάσεις, άρα το πλήθος είναι Ν = Α•Β όπου,

Α = Οι τρόποι με τους οποίους γίνεται η κλήρωση των πέντε ( 5 ) από τους σαράντα πέντε ( 45 ) αριθμούς.

Β = Οι τρόποι με τους οποίους γίνεται η κλήρωση του Τζόκερ , ένας ( 1 ) από τους είκοσι ( 20 ) αριθμούς.



Πάλι θα χρησιμοποιήσουμε τη Βασική Αρχή Απαρίθμησης για κάθε φάση. Για την πρώτη ξέρουμε ότι ολοκληρώνεται σε πέντε φάσεις ( αριθμούς ). Ο πρώτος έχει 45 δυνατά αποτελέσματα, ο δεύτερος αφού έχει βγει το ένα νούμερο έχει 44, ο τρίτος 43, τέταρτος 42 και ο πέμπτος τελικά 41 δυνατά αποτελέσματα. Επομένως το Α θα πρέπει να είναι Α = 45•44•43•42•41 = 146.611.080. Αριθμός όμως που εκτός από εξωφρενικά μεγάλος είναι και λανθασμένος! Το λάθος στα Μαθηματικά βλέπετε είναι τόσο συχνό όσο είναι και στην καθημερινή ζωή. Όλοι γνωρίζουμε από προσωπική μας εμπειρία πως είναι πολύ πιο εύκολο να αστοχήσουμε παρά να πετύχουμε , αφού υπάρχουν συνήθως άπειροι λανθασμένοι χειρισμοί και ελάχιστοι σωστοί για κάθε θέμα. Έτσι απ’ ό,τι φαίνεται ο μόνος σίγουρος δρόμος για να αποφύγεις το λάθος είναι να μην κάνεις απολύτως τίποτα, που μάλλον είναι… λάθος! Γιατί όμως δεν είναι σωστός ο υπολογισμός που έχουμε κάνει μέχρι τώρα για το Α; Δεν είναι, γιατί απλά μας ξέφυγε η εξής λεπτομέρεια. Με τον τρόπο αυτό, οι πεντάδες που έχουν ακριβώς τα ίδια νούμερα -για παράδειγμα (5 , 15 , 25 , 35 , 45) και (15 , 5 , 25 , 45 , 35) αλλά με διαφορετική σειρά, υπολογίζονται πολλές φορές. Ενώ στην πραγματικότητα πρόκειται για μία μόνο πεντάδα. Δεν ανησυχούμε όμως και προχωράμε στη λύση και του νέου προβλήματος που παρουσιάστηκε.



Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να βάλουμε πέντε νούμερα στη σειρά; Πάλι χρησιμοποιούμε τη Βασική Αρχή Απαρίθμησης. Η διαδικασία της τοποθέτησης μπορεί να γίνει σε πέντε φάσεις ( θέσεις ). Στην πρώτη θέση 5 αριθμούς, στη δεύτερη 4 αριθμούς αφού όπως και πριν έχει ήδη τοποθετηθεί ο ένας, στη τρίτη 3, στη τέταρτη 2 και στη πέμπτη 1, δηλαδή 5•4•3•2•1 = 120. Κάθε πεντάδα λοιπόν μπορεί να προκύψει με 120 διαφορετικούς τρόπους. Με αυτό το δεδομένο τώρα μπορούμε να βρούμε αυτό που ψάχνουμε τόση ώρα. Δεν μένει παρά να διαιρέσουμε το προηγούμενο αποτέλεσμα με 120 δηλαδή Α = 146.611.080 : 120 = 1.221.759. Βρήκαμε λοιπόν ότι η πρώτη φάση του Τζόκερ ολοκληρώνεται με Α = 1.221.759 τρόπους. Η δεύτερη είναι πολύ πιο εύκολη αφού επιλέγουμε ένα αριθμό από είκοσι. Γίνεται μόνο με Β = 20 τρόπους. Τελικά από τις δύο κληρωτίδες του παιχνιδιού μπορεί να προκύψουν Ν= 1.221.759 • 20 = 24435180 στήλες .



Αν λοιπόν έχουμε παίξει μια μόνο στήλη η πιθανότητα να κερδίσουμε είναι 1/24435180 ή αν το προτιμάτε σε ποσοστό επί τοις εκατό, όπως συνηθίζεται άλλωστε, αυτό είναι 0,0000041 %, που είναι όπως καταλαβαίνετε ένας πραγματικά πολύ μικρός αριθμός. Με άλλα λόγια αν παίξει κάποιος 250.000 διαφορετικές στήλες η πιθανότητα να κερδίσει είναι λίγο πάνω από 1% ! Δεν θέλω να απογοητεύσω τους απανταχού Τζοκερομανείς αλλά μάλλον δεν αξίζει τον κόπο. Από την άλλη όμως ένα σημαντικό πλήθος υπερτυχερών διαψεύδει αυτή τη μικρή πιθανότητα. Καλή Πρωτοχρονιά λοιπόν και καλή τύχη σε όλους … με όποιον τρόπο κι αν την κυνηγάτε!

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου

Δημοφιλείς αναρτήσεις

Μια ομορφιά