Οι καλλιτέχνες των μαθηματικών

Από την αρχή ακόμα, την εποχή δηλαδή που τέθηκαν τα πρώτα θεμέλια των μαθηματικών, η επιστήμη αυτή χωρίστηκε σε δύο μεγάλους κλάδους· την Αριθμητική και την Γεωμετρία. Η μελέτη των σχημάτων και των ιδιοτήτων τους ήταν πάντα μια προσφιλής ενασχόληση των μαθηματικών όλων των εποχών. Σε αντίθεση όμως με τον κλάδο που ασχολείται με τους αριθμούς η Γεωμετρία έχει το μεγάλο πλεονέκτημα να είναι εξίσου δημοφιλής και στους μη έχοντες ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις.

Στα μαθηματικά, το σχήμα θα παίζει πάντα πρωταγωνιστικό ρόλο. Από τα πιο απλά όπως το τρίγωνο, η σφαίρα και ο μαίανδρος μέχρι και τα πιο πολύπλοκα, τα γεωμετρικά σχήματα ασκούν μια παράξενη γοητεία στο ανθρώπινο πνεύμα. Δεν είναι λοιπόν παράξενο που από την αρχαιότητα η μελέτη της γεωμετρίας συνδέθηκε με όλες σχεδόν τις εκδηλώσεις του ανθρώπινου πολιτισμού. Οι πυραμίδες για παράδειγμα πολύ συχνά χρησιμοποιηθήκαν ως θρησκευτικοί χώροι και πολλά σχήματα όπως ο μαίανδρος που προαναφέρθηκε, χρησιμοποιήθηκαν για τον διάκοσμο των ναών. Οι Πυθαγόρειοι εκτός από τις πολλές μυστικιστικές αντιλήψεις που είχαν για τα σχήματα, συσχέτιζαν την μελέτη τους και με την Αστρονομία, την οποία αποκαλούσαν Γεωμετρία σε κίνηση. Ο Πλάτωνας στην είσοδο της φιλοσοφικής του σχολής είχε μια πολύ κολακευτική για την επιστήμη της Γεωμετρίας επιγραφή, «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» που σημαίνει σε ελεύθερη απόδοση «όποιος δεν γνωρίζει γεωμετρία να μη εισέλθει». Αυτή η επιγραφή φυσικά, δεν τέθηκε ως απαγόρευση αλλά για να καταδείξει την σπουδαιότητα της γεωμετρίας ως βασική προϋπόθεση για την τέχνη της φιλοσοφίας. Όσο για την τέχνη γενικότερα, αυτή είναι η κατεξοχήν ανθρώπινη δραστηριότητα που επηρεάζεται από την γεωμετρία. Τον 20ο αιώνα μάλιστα φτάσαμε στο σημείο να δημιουργηθεί μια τεχνοτροπία στη ζωγραφική που ονομάστηκε Κυβισμός. Τόσο επαναστατική ήταν αυτή η νέα τεχνοτροπία που η ίδια και οι εκπρόσωποί της έγιναν παγκοσμίως γνωστοί. Ακόμα και όσοι από εσάς αγνοείτε τι ακριβώς είναι ο κυβισμός σίγουρα γνωρίζετε τουλάχιστον ένα εκπρόσωπο του, τον Πάμπλο Πικάσσο.

Άλλος όμως είναι ο ζωγράφος του οποίου ένα μεγάλο μέρος του έργου του είναι κυριολεκτικά μια γεωμετρική πανδαισία. Πρωτοπόρος της λεγόμενης αφηρημένης ή ανεικονικής ζωγραφικής ο Βασίλη Καντίνσκι έδωσε με τις καινοτομίες του και την νέα αντίληψη που κόμιζε για την ζωγραφική, μιαν άλλη πορεία στη τέχνη του 20ου αιώνα. Άνθρωπος με τεράστιες τεχνικές ικανότητες και βαθύτατο λυρισμό ο Καντίνσκι θεωρείται πια στις μέρες μας καλλιτεχνική μεγαλοφυΐα και ένας από τους σημαντικότερους καλλιτέχνες τις εποχής του. Ωστόσο δεν είναι μονάχα οι πίνακές του που τον καθιέρωσαν ως έναν από τους μεγάλους του περασμένου αιώνα. Στη πραγματεία του Για το Πνευματικό στην Τέχνη καταγράφονται οι θεωρίες και οι ιδέες που υποστηρίζουν την τάση του προς το αφηρημένο. Η εργασία του αυτή μαζί με κάποιες άλλες όπως τα βιβλία του Τέχνη και καλλιτέχνες και Σημείο-Γραμμή-Επίπεδο τον καθιστούν ένα από τους σημαντικούς θεωρητικούς της τέχνης, δίνοντας του ακόμα μεγαλύτερη αίγλη.

Σαράντα περίπου χρόνια μετά το θάνατο του Καντίνσκι, ο Μπενουά Μάντελμπροτ ένας Γάλλος μαθηματικός, Πολωνικής καταγωγής, μας παρουσίασε κάποιους άλλους αναπάντεχους «μαθηματικούς καλλιτέχνες,» οι δημιουργίες των οποίων ξεπερνούν σε φαντασία, ευρηματικότητα αλλά και πολυπλοκότητα τα έργα πολλών απλών ζωγράφων. Στο βιβλίο Η μορφοκλασματική γεωμετρία της φύσης που εκδόθηκε το 1982 έχει συγκεντρώσει ένα πλήθος εκπληκτικών σχημάτων που δημιουργήθηκαν από ηλεκτρονικούς υπολογιστές ακολουθώντας μια πολύ απλή επαναληπτική διαδικασία. Τα σχήματα αυτά ονομάστηκαν από τον Μάντελμπροτ Fractals, στα ελληνικά Μορφοκλασματικές Δομές, και είναι κατά κάποιο τρόπο γραφικές παραστάσεις κάποιων εξισώσεων. Το βιβλίο αυτό σημείωσε τόσο μεγάλη επιτυχία που μέχρι σήμερα δεν υπάρχουν πολλά βιβλία μαθηματικών που να γνώρισαν τέτοια αποδοχή απ’ το ευρύ κοινό .

Τι είναι όμως μια Μορφοκλασματική Δομή; Καταρχάς είναι ένα σχήμα τόσο πολύπλοκο που δεν μπορεί να οριστεί με τους κανόνες και τους όρους της κλασικής ευκλείδειας γεωμετρίας. Ο ορισμός του γίνεται με βάση μιαν επαναληπτική διαδικασία και η δημιουργία του, συνήθως, με την ευεργετική συνδρομή των ηλεκτρονικών υπολογιστών. Ένα από τα βασικότερα χαρακτηριστικά του είναι η αυτό-ομοιότητα σε διάφορες κλίμακες. Με τον όρο αυτό-ομοιότητα εννοούμε ότι με μεγέθυνση σ’ ένα οποιοδήποτε σημείο του μπορούμε να δούμε είτε ολόκληρο το ίδιο το σχήμα είτε απλά ένα μέρος του.

Τέτοια σχήματα όπως προαναφέρθηκε είναι αποτέλεσμα μίας επαναληπτικής διαδικασίας, που συνήθως είναι πολύ απλή. Δείτε για παράδειγμα την κατασκευή του τάπητα του Σιερπίνσκι, μιας από τις πρώτες μορφόκλασματικές δομές που δημιουργήθηκαν. Ο τάπητας του Σιερπίνσκι δημιουργείται αφαιρώντας διαδοχικά το μεσαίο τετράγωνο από το μεγαλύτερο τετράγωνο που ήδη υπάρχει.

Αν όμως αντικαταστήσουμε αυτή την επαναληπτική διαδικασία με μιαν άλλη και προσθέσουμε χρώματα μπορεί να προκύψουν υπέροχα σχήματα. Το σύνολο του Μάντελμπροτ που φαίνεται παρακάτω είναι ένα από αυτά. Παρατηρήσετε την αυτό – ομοιότητα που εμφανίζεται τόσο στην περιφέρεια όσο και στις λεπτομέρειες μ’ ένα κυριολεκτικά εκπληκτικό τρόπο.

Η αλήθεια όμως είναι πως οι πραγματικοί καλλιτέχνες δεν είναι ούτε οι μαθηματικοί τύποι που δημιουργούν αυτές τις γραφικές παραστάσεις ούτε βέβαια οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές με την βοήθεια των οποίων τις σχεδιάζουμε, αλλά οι άνθρωποί που αναδεικνύουν αυτά τα αριστουργήματα. Αυτοί που επιλέγουν εκτός από τους κατάλληλους τύπους και τα σωστά χρώματα, αυτοί που μας δίνουν την ευκαιρία να απολαύσουμε τέτοια ομορφιά εκεί που πραγματικά δεν το περιμένουμε!

Μερικοί Σύνδεσμοι

1. Βασίλη Kαντίνσκι στο WebMuseum

2. Μπενουά Μάντελμπροτ

3. Μορφοκλασματικές Δομές ( Fractals )